Hospital/Rationale Funktion/3x^2-5x-2 durch x^3-4x^2+x+6/Beispiel

Die Polynome

$3x^{2}-5x-2{\text{ und }}x^{3}-4x^{2}+x+6$

haben beide für ${}x=2$ eine Nullstelle. Es ist also nicht von vornherein klar, ob der Limes

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow 2}\,{\frac {3x^{2}-5x-2}{x^{3}-4x^{2}+x+6}}$

existiert und welchen Wert er besitzt. Aufgrund der Regel von l'Hospital kann man den Grenzwert über die Ableitungen bestimmen, und das ergibt

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 2}\,{\frac {3x^{2}-5x-2}{x^{3}-4x^{2}+x+6}}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 2}\,{\frac {6x-5}{3x^{2}-8x+1}}={\frac {7}{-3}}=-{\frac {7}{3}}\,.$