Hyperfläche/Fermat-Brieskorn/Milnorzahl/Beispiel

Wir betrachten die durch ein Polynom der Form

${}F=X^{a}+Y^{b}+Z^{c}\,$

gegebene Hyperfläche im Nullpunkt (mit ${}a,b,c\geq 1$). Der Körper sei so, dass die Exponenten in ${}K$ von ${}0$ verschieden seien. Das Jacobiideal ist

${}{\left(aX^{a-1},bY^{b-1},cZ^{c-1}\right)}={\left(X^{a-1},Y^{b-1},Z^{c-1}\right)}\,.$

Im Restklassenring (vergleiche Fakt)

${}K[X,Y,Z]_{(0,0,0)}/{\left(X^{a-1},Y^{b-1},Z^{c-1}\right)}=K[X,Y,Z]/{\left(X^{a-1},Y^{b-1},Z^{c-1}\right)}\,$

bilden die Monome ${}X^{i}Y^{j}Z^{k}$ mit ${}0\leq i\leq a-1,\,0\leq j\leq b-1,\,0\leq k\leq c-1,\,$ eine ${}K$-Basis und somit ist die Milnorzahl dieser Hyperfläche gleich ${}(a-1)(b-1)(c-1)$.