Hyperfläche/Kurve/Anfangstangentenvektor/Paralleles Vektorfeld/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung


Wir suchen nach einer differenzierbaren Abbildung

das die Bedingungnen

  1. für alle ,

  2. für alle ,

erfüllt. Die erste Bedingung bedeutet, dass senkrecht auf dem Normaleneinheitsvektors steht, also

Daher ist auch

Die zweite Bedingung, dass im Normalenraum liegt, bedeutet

für alle , was wir mit Hilfe der vorstehenden Gleichung zu

für alle bzw. zu

für alle umformen können. Hier steht eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung erster Ordnung für , die zusammen mit der Anfangsbedingung nach Fakt

eine eindeutige Lösung besitzt. Es kann also höchstens eine Lösung der Ausgangsgleichung geben. Wenn die eindeutige Lösung der Differentialgleichung ist, so liegt in der Tat eine Lösung der Ausgangsgleichung vor.