Wir suchen nach einer differenzierbaren Abbildung
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das die Bedingungnen
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![{\displaystyle {}F(t)\in T_{\gamma (t)}Y\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6015e11c122ab6b5b0c0a33dd49acc621207a42)
für alle
,
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![{\displaystyle {}F'(t)\in N_{\gamma (t)}Y\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d933dda47511953f1847afc96164526e655134b3)
für alle
,
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![{\displaystyle {}F(t_{0})=v\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e5f297918ecdd6dfbe26a380f7bd584f5e5fe78)
erfüllt. Die erste Bedingung bedeutet, dass
senkrecht auf dem Normaleneinheitsvektors
steht, also
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![{\displaystyle {}\left\langle F(t),N(\gamma (t))\right\rangle =0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/888700113ac6b32c1e3af1972e4b9a89a66245d0)
Daher ist auch
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![{\displaystyle {}0=\left\langle F(t),N(\gamma (t))\right\rangle '=\left\langle F'(t),N(\gamma (t))\right\rangle +\left\langle F(t),(N(\gamma (t)))'\right\rangle \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82e918bc5b1bce82a5246f54734ca6b06a3dc46f)
Die zweite Bedingung, dass
im Normalenraum liegt, bedeutet
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![{\displaystyle {}F'(t)-\left\langle F'(t),N(\gamma (t))\right\rangle N(\gamma (t))=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64eef40c9c296609da68eac3fd3f195061d5aa5b)
für alle
,
was wir mit Hilfe der vorstehenden Gleichung zu
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![{\displaystyle {}F'(t)+\left\langle F(t),(N(\gamma (t)))'\right\rangle N(\gamma (t))=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dc714ab5d6e9c91d3f70f54984a90d3b40e5831)
für alle
bzw. zu
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![{\displaystyle {}F'(t)=-\left\langle F(t),(N(\gamma (t)))'\right\rangle N(\gamma (t))\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cb2022dd86cda0a53c64e9378c30b8f0d15fe05)
für alle
umformen können. Hier steht eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung erster Ordnung für
, die zusammen mit der Anfangsbedingung
nach
Fakt
eine eindeutige Lösung besitzt. Es kann also höchstens eine Lösung der Ausgangsgleichung geben. Wenn
![{\displaystyle {}F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93572d890f704d0126d032045604fd170e0fba8f)
die eindeutige Lösung der Differentialgleichung ist, so liegt in der Tat eine Lösung der Ausgangsgleichung vor.