Hyperfläche/Kurve/Beschleunigung/Bemerkung

Wir betrachten die Kurve

$v\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}},$

die sich vollständig auf dem Einheitskreis bewegt. Entsprechend sind die Ableitungen ${}v'(t)={\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}$ stets tangential zum Einheitskreis (was auch aus Bemerkung folgt). Die Norm davon ist konstant gleich ${}1$, der Einheitskreis wird gleichförmig mit konstantem Betrag der Geschwindigkeit durchlaufen. Allerdings ändert sich die Geschwindigkeitsrichtung kontinuierlich und die zweite Ableitung ist

${}v^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}-\cos t\\-\sin t\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}=-v(t)\,.$

Die Beschleunigung ist das Negative des Ortsvektors und steht senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor. Wenn man den Tangentialraum der umgebenden Ebene in einem Punkt ${}P$ des Kreises, also der ${}\mathbb {R} ^{2}$ aufgefasst mit ${}P$ als Ursprung, zerlegt in die zum Kreis tangentiale Richtung (Tangentialraum an die Faser) und in die dazu senkrechte Richtung (Normalraum) (im Sinne einer Zerlegung eines Vektorraumes als direkte Summe von Untervektorräumen), so spielt sich die Beschleunigung allein im Normalraum ab, die senkrechte Projektion auf den Tangentialraum ist stets ${}0$. In diesem Sinn ist die Beschleunigung irrelevant für die Bewegung auf dem Einheitskreis.

Wir betrachten nun allgemeiner eine Kurve

$w\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos f(t)\\\sin f(t)\end{pmatrix}},$

wobei ${}f$ eine zweifach differenzierbare reelle Funktion ist. Diese Kurve bewegt sich wie zuvor auf dem Einheitskreis, die Ableitung ist

${}w'(t)=f'(t){\begin{pmatrix}-\sin f(t)\\\cos f(t)\end{pmatrix}}\,,$

sie ist also wie zuvor stets tangential zum Einheitskreis, wobei die Geschwindigkeitsnorm jetzt gleich ${}\vert {f'(t)}\vert$ ist. Die zweite Ableitung ist

${}w^{\prime \prime }(t)=f^{\prime \prime }(t){\begin{pmatrix}-\sin f(t)\\\cos f(t)\end{pmatrix}}-{\left(f'(t)\right)}^{2}{\begin{pmatrix}\cos f(t)\\\sin f(t)\end{pmatrix}}\,,$

wobei hier direkt die Zerlegung in die tangentiale und die dazu orthogonale Komponente steht. Die tangentiale Komponente ist ${}-{\left(f'(t)\right)}^{2}{\begin{pmatrix}\cos f(t)\\\sin f(t)\end{pmatrix}}$, bei ${}f$ nicht konstant gibt es also auch Beschleunigung in tangentialer Richtung.