Hyperfläche/Kurve/Paralleltransport/Isometrie/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung


Zum Nachweis der Linearität seien and gegeben. Es seien bzw. die gemäß Fakt eindeutig bestimmten parallelen Vektorfelder längs mit und . Nach Fakt ist ein paralleles Vektorfeld mit . Wegen der Eindeutigkeit aus Fakt ist somit das parallele Vektorfeld zum Tangentialvektor . Daher ist

Zum Nachweis der Verträglichkeit mit dem Skalarprodukt seien wieder gegeben und es seien die zugehörigen parallelen Vektorfelder. Es ist

da tangential sind und orthogonal zum Tangentialraum sind. Daher ist konstant längs des Weges. Daher ist

Die Bijektivität ist damit auch klar.