Zum Nachweis der Linearität seien
and
gegeben. Es seien
bzw.
die gemäß
Fakt
eindeutig bestimmten parallelen Vektorfelder längs
mit
und
.
Nach
Fakt
ist
ein paralleles Vektorfeld mit
.
Wegen der Eindeutigkeit aus
Fakt
ist somit
das parallele Vektorfeld zum Tangentialvektor
. Daher ist
-
![{\displaystyle {}\Psi _{\gamma }(rv+sw)=(rF+sG)(b)=rF(b)+sG(b)=r\Psi _{\gamma }(v)+s\Psi _{\gamma }(w)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b6a0a7109339e58917ea30954bd84a9d4754a1)
Zum Nachweis der Verträglichkeit mit dem Skalarprodukt seien wieder
gegeben und es seien
die zugehörigen parallelen Vektorfelder. Es ist
-
![{\displaystyle {}\left\langle F(t),G(t)\right\rangle '=\left\langle F'(t),G(t)\right\rangle +\left\langle F(t),G'(t)\right\rangle =0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f334113185e42373e82c0a78e64cad3cf8c469)
da
tangential sind und
orthogonal zum Tangentialraum sind. Daher ist
konstant längs des Weges. Daher ist
-
![{\displaystyle {}\left\langle \Psi _{\gamma }(v),\Psi _{\gamma }(w)\right\rangle =\left\langle F(b),G(b)\right\rangle =\left\langle F(a),F(a)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f777ae3b32f83844e53e32136452b9e7948f6977)
Die Bijektivität ist damit auch klar.