Hyperfläche/Multiplizität/Generischer Schnitt/Bemerkung

Zu einem Punkt ${}P\in V(f)\subseteq K^{n}$ ist nach Fakt die Vielfachheit von ${}f$ an ${}P$ auf einer generischen Geraden durch den Punkt ${}P$ gleich dem Untergrad von ${}f$ in dem Punkt. Der Untergrad wird dabei bestimmt, indem man ${}f$ um den Punkt ${}P$ entwickelt, also den Punkt in den Nullpunkt verschiebt. Wenn ${}K$ unendlich ist, so hat diese Zahl eine unmittelbare geometrische Bedeutung, nämlich eben die Vielfachheit des Schnittes. Diese Bedeutung ist der historische Ausgangspunkt für das Konzept Multiplizität, das ein wichtiges Singularitätsmaß ist, wie Fakt zeigt. Eine algebraisch solidere Beschreibung dieser Invariante, die nicht nur für Hyperflächen funktioniert und die nur vom lokalen Ring der Varietät im Punkt ${}P$ abhängt, beruht auf der Hilbertfunktion von graduierten Moduln.