Hyperfläche/K unendlich/Untergrad/Glatt/Schnittverhalten/Fakt

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und ${}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom mit ${}f(0)=0$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}0$ ist ein glatter Punkt von ${}f$.
2. Der Untergrad von ${}f$ ist ${}1$.
3. Für eine nichtleere Zariski-offene Teilmenge ${}U\subseteq K^{n}$ ist für jede Gerade ${}at$ mit Richtungsvektor ${}a\in U$ die ${}0$ eine einfache Nullstelle des Polynoms ${}f(a_{1}t,\ldots ,a_{n}t)$.

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