Hyperfläche/Multiplizität/Geradenschnitt/C/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei der Grad von und der Untergrad von . Es sei eine Zariski-offene Menge mit der Eigenschaft, dass die Einsetzungen zu den Geraden durch den Nullpunkt zum Parametertupel

den Grad und den Untergrad besitzen. Eine solche Menge gibt es aufgrund von Fakt und Fakt. Das normierte eingesetzte Polynom hat die Gestalt

wobei auf nullstellenfrei und unabhängig von den ist. Für einen fixierten Parameter mit besitzt dieses Polynom in eine Nullstelle der Vielfachheit . Nach dem Satz über die Stetigkeit der Nullstellen gibt es zu jedem ein mit der Eigenschaft, dass jedes normierte Polynom vom gleichen Grad, das (durch parametrisiert ist und) die Koeffizientenbedingungen

für alle erfüllt, in mindestens Nullstellen mit Gesamtvielfachheit besitzt. Da diese rationalen Koeffizientenfunktionen stetig sind, gibt es zu jedem ein derart, dass für

die zugehörigen Koeffizientenfunktionen diese Abstandsbedingung und die zugehörigen Geraden daher die Schnittbedingung erfüllen, dass sie in der -Umgebung des Nullpunktes insgesamt zumindest Schnittpunkte haben.