Hyperfläche/Normalkrümmung/Berechnung/Fakt

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Es seien ${}\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{n-1}$ die Hauptkrümmungen zu ${}Y$ in ${}P$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ zugehörige normierte Hauptkrümmungsrichtungen.

Dann ist die Normalkrümmung von ${}Y$ in ${}P$ in Richtung ${}v\in T_{P}Y$ gleich

${}\kappa (v)=\sum _{i=1}^{n-1}\kappa _{i}\left\langle v,v_{i}\right\rangle ^{2}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen