Hyperfläche/Normalkrümmung/Normalebene/Kurvenschnitt/Fakt

Satz über die Normalkrümmung

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Es sei ${}E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Normalebene durch ${}P$ an ${}Y$.

Dann ist die Normalkrümmung von ${}Y$ in ${}P$ gleich der Krümmung der ebenen Kurve ${}Y\cap (P+E)\subseteq P+E\cong \mathbb {R} ^{2}$ im Punkt ${}P$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen