Hyperfläche/R^n/Parametrisierung/Zweite Fundamentalform/Variante/Fakt

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}f\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=f^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}f$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$, eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge ${}U\subseteq Y$ mit den Parametern ${}u_{1},\ldots ,u_{n-1}$. Es sei ${}Y$ durch ein Einheitsnormalenfeld ${}N$ orientiert, wobei wir ${}N$ als Feld auf ${}V$ auffassen.

Dann gilt

${}h_{ij}=-\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{j}N\right\rangle =\left\langle \partial _{i}\varphi ,L_{}(\partial _{j}\varphi )\right\rangle \,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen