Hyperfläche/R^n/Parametrisierung/Zweite Fundamentalform/Variante/Fakt/Beweis

Beweis

Da das Einheitsnormalenfeld senkrecht auf den Tangentialräumen an ${}Y$ steht, gilt

${}\left\langle \partial _{i}\varphi ,N\right\rangle =0\,.$

Daraus folgt

${}0=\left\langle \partial _{j}\partial _{i}\varphi ,N\right\rangle +\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{j}N\right\rangle \,,$

was die erste Gleichung ergibt. Die zweite folgt direkt aus der Definition der Weingartenabbildung.

Zur bewiesenen Aussage