Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Gaußkrümmung/Christoffelsymbole/Fakt/Beweis

Beweis

Wir differenzieren die erste Bestimmungsgleichung für die Christoffelsymbole, also

${}\partial _{1}\partial _{1}\varphi =\Gamma _{11}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{11}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{11}N\,,$

in Richtung der zweiten Variablen und die zweite Bestimmungsgleichung, also

${}\partial _{1}\partial _{2}\varphi =\Gamma _{12}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{12}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{12}N\,,$

in Richtung der ersten Variablen und erhalten nach Schwarz

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{1}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}\right)}\partial _{2}\varphi +{\left(\partial _{2}h_{11}\right)}N+\Gamma _{11}^{1}\partial _{2}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{11}^{2}\partial _{2}\partial _{2}\varphi +h_{11}\partial _{2}N\\&={\left(\partial _{1}\Gamma _{12}^{1}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}\right)}\partial _{2}\varphi +{\left(\partial _{1}h_{12}\right)}N+\Gamma _{12}^{1}\partial _{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{12}^{2}\partial _{1}\partial _{2}\varphi +h_{12}\partial _{1}N.\,\end{aligned}}$

Die Differenz dieser Ausdrücke ist ${}0$, und wir bestimmen, was sich dabei auf den Basisvektor ${}\partial _{2}\varphi$ bezieht. Dazu müssen wir die Bestimmungsgleichungen für die Christoffelsymbole und Fakt  (3) heranziehen und erhalten

$0=\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}+h_{11}{\frac {g_{12}h_{12}-g_{11}h_{22}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}-h_{12}{\frac {g_{12}h_{11}-g_{11}h_{12}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}\,.$

Mit

$-g_{11}{\left(h_{11}h_{22}-h_{12}^{2}\right)}=h_{11}{\left(g_{12}h_{12}-g_{11}h_{22}\right)}-h_{12}{\left(g_{12}h_{11}-g_{11}h_{12}\right)}\,$

können wir die beiden hinteren Summanden ersetzen und erhalten mit Fakt  (4)

${}{\begin{aligned}g_{11}K&=g_{11}{\frac {h_{11}h_{22}-h_{12}^{2}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}\\&={\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}\right)}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage