Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Weingartenabbildung/Fundamentalformen/Fakt

Es sei offen, eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei

, eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge mit den Parametern . Es sei durch ein Einheitsnormalenfeld orientiert, wobei wir als Feld auf auffassen. Es sei die erste und die zweite Fundamentalmatrix zu . Zu sei die Matrix, die die Weingartenabbildung

bezüglich der Basis und von beschreibt. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Es ist

    und

  4. Für die Gaußkrümmung von gilt