Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Weingartenabbildung/Fundamentalformen/Fakt

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen, ${}f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=f^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}f$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge ${}U\subseteq Y$ mit den Parametern ${}u_{1},u_{2}$. Es sei ${}Y$ durch ein Einheitsnormalenfeld ${}N$ orientiert, wobei wir ${}N$ als Feld auf ${}V$ auffassen. Es sei ${}G$ die erste und ${}H$ die zweite Fundamentalmatrix zu ${}\varphi$. Zu ${}P=\varphi (Q)$ sei ${}W$ die Matrix, die die Weingartenabbildung

$T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y$

bezüglich der Basis ${}\partial _{1}\varphi (Q)$ und ${}\partial _{2}\varphi (Q)$ von ${}T_{P}Y$ beschreibt. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist

   ${}H=G\cdot W\,.$

2. Es ist

   ${}W=G^{-1}H\,.$

3. Es ist

   $\partial _{1}N=-{\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\left({\left(g_{22}h_{11}-g_{12}h_{12}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(-g_{12}h_{11}+g_{11}h_{12}\right)}\partial _{2}\varphi \right)}\,$

   und

   $\partial _{2}N=-{\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\left({\left(g_{22}h_{12}-g_{12}h_{22}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(-g_{12}h_{12}+g_{11}h_{22}\right)}\partial _{2}\varphi \right)}\,$

4. Für die Gaußkrümmung von ${}Y$ gilt

   ${}K={\frac {\det H}{\det G}}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen