Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Weingartenabbildung/Fundamentalformen/Fakt/Beweis

Beweis

1. Es ist nach Definition von ${}W$

   ${}L_{P}(\partial _{1}\varphi )=w_{11}\partial _{1}\varphi +w_{21}\partial _{2}\varphi \,$

   und

   ${}L_{P}(\partial _{2}\varphi )=w_{12}\partial _{1}\varphi +w_{22}\partial _{2}\varphi \,.$

   Daher ist nach Fakt

   ${}h_{ij}=\left\langle \partial _{i}\varphi ,L_{P}(\partial _{j}\varphi )\right\rangle =\left\langle \partial _{i}\varphi ,w_{1j}\partial _{1}\varphi +w_{2j}\partial _{2}\varphi \right\rangle =w_{1j}g_{i1}+w_{2j}g_{i2}\,.$

2. Das folgt unmittelbar aus (1) durch Multiplikation mit ${}G^{-1}$ von links.
3. Es ist

   ${}\partial _{i}N=-L(\partial _{i}\varphi )=-w_{1i}\partial _{1}\varphi -w_{2i}\partial _{2}\varphi \,$

   und somit folgt die Aussage aus (2) unter Berücksichtigung von

   ${}G^{-1}={\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{22}&-g_{12}\\-g_{12}&g_{11}\end{pmatrix}}\,.$

   Damit ist

   ${}W={\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{22}&-g_{12}\\-g_{12}&g_{11}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{12}&h_{22}\end{pmatrix}}\,$

   und somit

   ${}{\begin{aligned}\partial _{1}N&=-w_{11}\partial _{1}\varphi -w_{21}\partial _{2}\varphi \\&=-{\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\left({\left(g_{22}h_{11}-g_{12}h_{12}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(-g_{12}h_{11}+g_{11}h_{12}\right)}\partial _{2}\varphi \right)}\end{aligned}}$

   und

   ${}{\begin{aligned}\partial _{2}N&=-w_{12}\partial _{1}\varphi -w_{22}\partial _{2}\varphi \\&=-{\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\left({\left(g_{22}h_{12}-g_{12}h_{22}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(-g_{12}h_{12}+g_{11}h_{22}\right)}\partial _{2}\varphi \right)}\end{aligned}}$

4. Die Gaußkrümmung ist die Determinante der Weingartenabbildung, daher folgt die Aussage aus (2) mit dem Determinantenmultiplikationssatz.

Zur bewiesenen Aussage