Eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
heißt riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn auf jedem
Tangentialraum
,
,
ein
Skalarprodukt
erklärt ist derart, dass für jede Karte
-
mit
die Funktionen
(für
)
-
-differenzierbar
sind.
Die auf den Karten definierten Funktionen
nennt man
(metrische oder riemannsche)
Fundamentalfunktionen. Man fasst sie zu einer Matrix
zusammen, die man auch die metrische Fundamentalmatrix
(oder die erste Fundamentalmatrix oder den metrischen Fundamentaltensor)
nennt. Diese Matrix ist in jedem Punkt
symmetrisch und positiv definit. Wichtig ist auch die Determinante davon, also
-
![{\displaystyle {}g=\det {\left(g_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f59baff581a83fb4b65e945b1117be55303e2d3c)
die ebenfalls stetig differenzierbar ist und die nach
Fakt
überall positiv ist.
Das einfachste Beispiel einer riemannschen Mannigfaltigkeit ist der euklidische Raum
mit dem Standardskalarprodukt für jeden Punkt
(und überhaupt jeder euklidische Raum)
sowie eine jede offene Teilmenge davon. Wichtiger ist, dass auch jede
abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
einer riemannschen Mannigfaltigkeit wieder eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist. Dadurch ergeben sich viele nichttriviale Beispiele, wie beispielsweise Flächen im
wie die Sphäre oder der Torus.
Für jeden Punkt
ist
ein
Untervektorraum
nach
Fakt.
Daher induziert das
Skalarprodukt
auf
ein Skalarprodukt auf
. Für die stetige Differenzierbarkeit des Skalarproduktes sei
-
eine Karte von
mit
,
die eine Bijektion
zwischen
und
induziere
(mit
).
Unter dieser Identifizierung ist
mit den Basisvektoren
,
.
Für Paare
,
,
von solchen Vektoren gelten dann für
die Gleichheiten
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}h_{ij}(Q)&:=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)}\\&=\left\langle T(\theta ^{-1})(e_{i}),T(\theta ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\theta ^{-1}(Q)}\\&=g_{ij}(Q),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/584a9ce08aa11b202913172c4270b32281ac88d0)
da ja das Skalarprodukt auf
einfach die Einschränkung des Skalarproduktes auf
ist und da
die Einschränkung von
ist.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)