Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$ heißt riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn auf jedem Tangentialraum ${}T_{P}M$, ${}P\in M$, ein Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle _{P}$ erklärt ist derart, dass für jede Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Funktionen (für ${}1\leq i,j\leq n$)

$g_{ij}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,Q\longmapsto g_{ij}(Q)=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)},$

${}C^{1}$-differenzierbar sind.

Die auf den Karten definierten Funktionen ${}g_{ij}$ nennt man (metrische oder riemannsche) Fundamentalfunktionen. Man fasst sie zu einer Matrix ${}{\left(g_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}$ zusammen, die man auch die metrische Fundamentalmatrix (oder die erste Fundamentalmatrix oder den metrischen Fundamentaltensor) nennt. Diese Matrix ist in jedem Punkt ${}Q\in V$ symmetrisch und positiv definit. Wichtig ist auch die Determinante davon, also

${}g=\det {\left(g_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\,,$

die ebenfalls stetig differenzierbar ist und die nach Fakt überall positiv ist.

Das einfachste Beispiel einer riemannschen Mannigfaltigkeit ist der euklidische Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt für jeden Punkt (und überhaupt jeder euklidische Raum) sowie eine jede offene Teilmenge davon. Wichtiger ist, dass auch jede abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer riemannschen Mannigfaltigkeit wieder eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist. Dadurch ergeben sich viele nichttriviale Beispiele, wie beispielsweise Flächen im ${}\mathbb {R} ^{3}$ wie die Sphäre oder der Torus.

Satz

Es sei ${}N$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und ${}M\subseteq N$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit.

Dann ist ${}M$ ebenfalls eine riemannsche Mannigfaltigkeit.

Beweis

Für jeden Punkt ${}P\in M$ ist ${}T_{P}M\subseteq T_{P}N$ ein Untervektorraum nach Fakt. Daher induziert das Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle _{P}$ auf ${}T_{P}N$ ein Skalarprodukt auf ${}T_{P}M$. Für die stetige Differenzierbarkeit des Skalarproduktes sei

$\theta \colon W\longrightarrow W'$

eine Karte von ${}N$ mit ${}W'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, die eine Bijektion ${}\alpha$ zwischen ${}M\cap W$ und ${}\mathbb {R} ^{m}\times \{0\}\cap W'$ induziere (mit ${}0\in \mathbb {R} ^{m-n}$). Unter dieser Identifizierung ist ${}T_{P}M\cong \mathbb {R} ^{m}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit den Basisvektoren ${}e_{i}$, ${}i\leq m$. Für Paare ${}e_{i},e_{j}$, ${}1\leq i,j\leq m$, von solchen Vektoren gelten dann für ${}Q\in \mathbb {R} ^{m}\times \{0\}\cap W'$ die Gleichheiten

${}{\begin{aligned}h_{ij}(Q)&:=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)}\\&=\left\langle T(\theta ^{-1})(e_{i}),T(\theta ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\theta ^{-1}(Q)}\\&=g_{ij}(Q),\end{aligned}}$

da ja das Skalarprodukt auf ${}T_{\alpha ^{-1}(Q)}M$ einfach die Einschränkung des Skalarproduktes auf ${}T_{\alpha ^{-1}(Q)}N$ ist und da ${}\alpha$ die Einschränkung von ${}\theta$ ist.

$\Box$