Riemannsche Mannigfaltigkeit/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Riemannsch/Fakt/Beweis

Beweis

Für jeden Punkt ${}P\in M$ ist ${}T_{P}M\subseteq T_{P}N$ ein Untervektorraum nach Fakt. Daher induziert das Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle _{P}$ auf ${}T_{P}N$ ein Skalarprodukt auf ${}T_{P}M$. Für die stetige Differenzierbarkeit des Skalarproduktes sei

$\theta \colon W\longrightarrow W'$

eine Karte von ${}N$ mit ${}W'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, die eine Bijektion ${}\alpha$ zwischen ${}M\cap W$ und ${}\mathbb {R} ^{m}\times \{0\}\cap W'$ induziere (mit ${}0\in \mathbb {R} ^{m-n}$). Unter dieser Identifizierung ist ${}T_{P}M\cong \mathbb {R} ^{m}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit den Basisvektoren ${}e_{i}$, ${}i\leq m$. Für Paare ${}e_{i},e_{j}$, ${}1\leq i,j\leq m$, von solchen Vektoren gelten dann für ${}Q\in \mathbb {R} ^{m}\times \{0\}\cap W'$ die Gleichheiten

${}{\begin{aligned}h_{ij}(Q)&:=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)}\\&=\left\langle T(\theta ^{-1})(e_{i}),T(\theta ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\theta ^{-1}(Q)}\\&=g_{ij}(Q),\end{aligned}}$

da ja das Skalarprodukt auf ${}T_{\alpha ^{-1}(Q)}M$ einfach die Einschränkung des Skalarproduktes auf ${}T_{\alpha ^{-1}(Q)}N$ ist und da ${}\alpha$ die Einschränkung von ${}\theta$ ist.

Zur bewiesenen Aussage