Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Bezüglich tangentialem Vektorfeld/Kovariante Ableitung/Definition

Kovariante Ableitung

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei

$G\colon Y\longrightarrow TY$

ein tangentiales Vektorfeld auf ${}Y$. Es sei

$F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein differenzierbares Vektorfeld, das auf einer offenen Umgebung ${}P\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definiert sei und das auf ${}Y\cap U$ tangential an ${}Y$ sei. Dann nennt man das tangentiale Vektorfeld

$\nabla _{G}F\colon Y\cap U\longrightarrow T(Y\cap U),$

das durch

${}{\left(\nabla _{G}F\right)}(P):=\nabla _{G(P)}F\,$

definiert ist, die kovariante Ableitung von ${}F$ in Richtung ${}G$.