Hyperfläche/Weingartenabbildung/Zweite Ableitung/Skalarprodukt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow Y,\,t\longmapsto \gamma (t),$

zweifach differenzierbar mit ${}\gamma (0)=P$ und ${}\gamma '(0)=v\in T_{P}Y$. Es ist

${}\left\langle \gamma '(t),N(\gamma (t))\right\rangle =0\,$

für alle ${}t\in I$ und daher ist mit Aufgabe

${}{\begin{aligned}0&=\left\langle \gamma '(t),N(\gamma (t))\right\rangle '(0)\\&=\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(0),N(\gamma (0))\right\rangle +\left\langle \gamma '(0),{\left(D_{\gamma '(0)}N\right)}{\left(\gamma (0)\right)}\right\rangle \\&=\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(0),N(P)\right\rangle -\left\langle L_{P}(v),v\right\rangle .\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage