I endlich/Abbildung/Faktorisierung/Aufgabe

Es sei ${}I$ eine endliche Menge und

$\varphi \colon I\longrightarrow I$

eine Abbildung. Zeige, dass man ${}\varphi$ als die Hintereinanderschaltung

${}\varphi =\tau _{1}\circ \cdots \circ \tau _{k}\circ \rho _{1}\circ \cdots \circ \rho _{m}\,$

schreiben kann, wobei die ${}\tau _{i}$ Transpositionen und die ${}\rho _{j}$ Abbildungen derart sind, dass es ${}r,s\in I$ gibt mit

${}\rho {|}_{I\setminus \{r\}}=\operatorname {Id} _{I\setminus \{r\}}\,$

und

${}\rho (r)=s\,.$

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