I endlich/Abbildung/Faktorisierung/Aufgabe/Lösung

Wenn ${}\varphi$ injektiv ist, so ist ${}\varphi$ auch bijektiv und damit eine Permutation, und die Aussage gilt nach Fakt allein mit Transpositionen. Es sei also ${}\varphi$ nicht injektiv und seien ${}r,s\in I$ Elemente die beide auf das gleiche Element abgebildet werden. Es sei ${}\rho _{1}$ die Abbildung, die ${}r$ und ${}s$ auf ${}s$ abbildet und ansonsten die Identität ist. Dann kann man

${}\varphi =\psi _{1}\circ \rho _{1}\,$

schreiben, wobei man ${}\psi _{1}(r):=t$ setzt, wobei ${}t$ ein Element sei, das nicht zum Bild von ${}\varphi$ gehört, und man ansonsten ${}\psi _{1}(\ell ):=\varphi (\ell )$ setzt - also insbesondere ${}\psi _{1}(s):=\varphi (s)$. Wenn ${}\psi _{1}$ ebenfalls nicht injektiv ist, so können wir mit entsprechenden Festsetzungen

${}\varphi =\psi _{1}\circ \rho _{1}=\psi _{2}\circ \rho _{2}\circ \rho _{1}\,$

schreiben. So machen wir Schritt für Schritt weiter. Da sich dabei bei jedem Schritt die Anzahl der Elemente im Bild von ${}\psi _{n}$ erhöht, erreichen wir schließlich die Situation

${}\varphi =\psi \circ \rho _{n}\circ \cdots \circ \rho _{1}\,,$

wobei ${}\psi$ bijektiv ist. Diese Bijektion können wir als Produkt von Transpositionen darstellen.

Zur gelösten Aufgabe