Identität/Matrix zu Basis/Übergangsmatrix/Beispiel

Es sei ${}V$ ein Vektorraum mit Basen ${}{\mathfrak {v}}$ und ${}{\mathfrak {w}}$. Wenn man die Identität

$\operatorname {Id} \colon V\longrightarrow V$

bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ vorne und der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ hinten betrachtet, so ist wegen

${}\operatorname {Id} (v_{j})=v_{j}=\sum a_{ij}w_{i}\,$

direkt

${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\operatorname {Id} )=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}\,,$

d.h. die beschreibende Matrix zur identischen linearen Abbildung ist die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von ${}{\mathfrak {v}}$ nach ${}{\mathfrak {w}}$.