Identität/Repräsentierbarkeitseigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten die Identität

$\operatorname {Id} \colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$

und den Ausdruck ${}x=y$, den wir mit ${}\psi$ bezeichnen. Es sei ${}\Gamma \subseteq L^{\rm {Ar}}$ die Ausdrucksmenge, die die Kommutativität und die Assoziativität der Addition besagt sowie, dass ${}0$ das neutrale Element der Addition ist.

1. Zeige, dass der Graph der Identität durch ${}\psi$ schwach repräsentierbar in ${}\Gamma$ ist.
2. Zeige, dass der Graph der Identität nicht repräsentierbar in ${}\Gamma$ ist.
3. Zeige, dass der Graph der Identität repräsentierbar in der Peano-Arithmetik ${}{\rm {PA}}$ ist.
4. Ist die Identität als Abbildung repräsentierbar in der Peano-Arithmetik?
5. Gilt

   $\Gamma \vdash \exists !y\psi (n,y)$

   für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ (dabei werde ${}n$ durch eine ${}n$-fache Summe der ${}1$ mit sich in beliebiger Klammerung wiedergegeben)?

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