Identität/Repräsentierbarkeitseigenschaften/Aufgabe/Lösung
- Wenn eine Gleichheit
von natürlichen Zahlen vorliegt, so wird diese eine Zahl durch den einen Term in dargestellt. Wegen Axiom gilt
Wenn hingegen und verschiedene natürliche Zahlen sind, so ist die Gleichheit nicht aus ableitbar, da andernfalls wegen die Gleichheit auch in gelten würde.
- Seien
verschiedene natürliche Zahlen. Wir behaupten
Wäre das nämlich doch ableitbar, so müsste diese Ungleichheit in jedem Modell von gelten. Die Gültigkeit von in einem Modell bedeutet aber lediglich, dass ein kommutatives Monoid vorliegt. Da es auch das triviale Monoid gibt, in dem alle Elemente gleich sind, erhalten wir einen Widerspruch.
- Bei gleichen Zahlen folgt die Ableitbarkeit nach Teil (1) sogar aus , also erst recht aus der Peano-Arithmetik. Es seien also
verschiedene natürliche Zahlen. Es ist
zu zeigen. Wegen der (ableitbaren) Symmetrie des Gleichheitszeichens können wir
annehmen. Es sei
mit . Nach Axiom (1) ist
Die Kontraposition zu Axiom (2) liefert der Reihe nach
bis man schließlich bei
anlangt.
- Die folgt aus Teil (5).
- Das gilt, es ist
für jedes zu zeigen. Dies ergibt sich aber einfach aus der (ableitbaren) Symmetrie und der Transitivität des Gleichheitszeichens.