Injektive stetige Abbildung/R nach S^2/Bild unendliche Länge/Pole als Limiten/Aufgabe

Man gebe eine injektive stetige Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{2},$

die (als Abbildung nach ${}\mathbb {R} ^{3}$) rektifizierbar ist und unendliche Länge besitzt, und für die ${}\operatorname {lim} _{t\rightarrow \infty }\,\varphi (t)=N$ und ${}\operatorname {lim} _{t\rightarrow -\infty }\,\varphi (t)=S$ gilt.

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