Integral/Parameterabhängig/at^2-a^2t/-1 nach 2/Extrema/Aufgabe/Lösung

Es sei

${}f(a)=\int _{-1}^{2}at^{2}-a^{2}t\,dt\,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}f(a)&=\left({\frac {1}{3}}at^{3}-{\frac {1}{2}}a^{2}t^{2}\right)|_{-1}^{2}\\&={\frac {1}{3}}a\cdot 2^{3}-{\frac {1}{2}}a^{2}\cdot 2^{2}-{\left(a{\frac {1}{3}}(-1)-a^{2}{\frac {1}{2}}(-1)^{2}\right)}\\&={\left(-2+{\frac {1}{2}}\right)}a^{2}+{\left({\frac {8}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)}a\\&=-{\frac {3}{2}}a^{2}+3a.\end{aligned}}$

Es ist

${}f'(a)=-3a+3\,$

mit der einzigen Nullstelle bei

${}a=1\,$

und

${}f''(a)=-3\,.$

Das bedeutet nach Fakt, dass das bestimmte Integral für den Parameter

${}a=1\,$

ein isoliertes globales Maximum annimmt und keine weiteren Extrema vorliegen.

Zur gelösten Aufgabe