Kurs:Quantencomputing/Integrale

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Definiton

Für eine stetige Funktion $f(x)$ wird die Stammfunktion $F(x)$ durch $F'(x)=f(x)$ definiert. Sie kann dazu benutzt werden, die Fläche zwischen der Funktion $f(x)$ und der $x$-Achse auf dem Intervall $(a,b)$ zu bestimmen. Dazu wird das bestimmte Integral
$\int _{a}^{b}\mathrm {d} x\,f(x)=F(b)-F(a)$
definiert. Stammfunktionen sind bis auf eine additive Konstante eindeutig, weshalb $F(x)$ auch oft durch den Ausdruck eines unbestimmten Integrals
$F(x)=\int \mathrm {d} x\,f(x)$
angegeben wird.

Beispiele

Einige wichtige Stammfunktionen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Liste einfacher Stammfunktionen

$f(x)$	$F(x)$
$0$	$c\in \mathbb {R}$
$c\in \mathbb {R}$	$c\cdot x$
$x$	${\frac {1}{2}}x^{2}$
$x^{2}$	${\frac {1}{3}}x^{3}$
$x^{n}$	${\frac {1}{n+1}}x^{n+1}$
$\operatorname {sin} (x)$	$-\operatorname {cos} (x)$
$\operatorname {cos} (x)$	$\operatorname {sin} (x)$
$\mathrm {e} ^{x}$	$\mathrm {e} ^{x}$

Regeln

Aus den Ableitungsregeln lassen sich auch einige Regeln für Integrale herleiten.

• Linearität $\int \mathrm {d} x\,(a\cdot f(x)+b\cdot g(x))=a\cdot \int \mathrm {d} x\,f(x)+b\cdot \int \mathrm {d} x\,g(x)$
• Partielle Integration $\int \mathrm {d} x\,f(x)\cdot g'(x)=f(x)\cdot g(x)-\int \mathrm {d} x\,f'(x)\cdot g(x)$
• Substitutionsregel I $\int \mathrm {d} x\,u'(x)\cdot f(u(x))=\int \mathrm {d} u\,f(u)$
• Substitutionsregel II $\int \mathrm {d} x\,f(x)=\int \mathrm {d} u\,x'(u)\cdot f(x(u))$

Aufgabe

Bestimme für $f(x)=3x^{2}-2x\operatorname {sin} (x)+1-3\operatorname {cos} (2x)$ die Stammfunktion $F(x)$ und das bestimmte Integral $\int _{0}^{\pi /2}\mathrm {d} x\,\operatorname {cos} (x)\cdot \operatorname {sin} (\operatorname {sin} (x))$.

Lösungen

Siehe auch

• Weitere Informationen können im Wikipedia-Artikel Riemann Integral gefunden werden.