Kurs:Quantencomputing/Lösungen

Diese Seite beinhaltet Lösungen zu allen Aufgaben aus den einzelnen Kapiteln des Kurs Quantencomputing.

Mathematische Vorkenntnisse

Ableitungen

• $f'(x)=6x-2\operatorname {sin} (x)-2x\operatorname {cos} (x)+6\operatorname {sin} (3x)$
• $g'(x)=\operatorname {cos} ^{2}(x)-\operatorname {sin} ^{2}(x)-12x\mathrm {e} ^{-2x^{2}}$

Integrale

• $F(x)=x^{3}+2x\operatorname {cos} (x)-2\operatorname {sin} (x)+x-{\frac {3}{2}}\operatorname {sin} (2x)+c$
• $\int _{0}^{\pi /2}\mathrm {d} x\,\operatorname {cos} (x)\cdot \operatorname {sin} (\operatorname {sin} (x))=1-\operatorname {cos} (1)$

Vektoren

• $|\lambda {\vec {v}}+\mu {\vec {u}}|={\sqrt {150}}$
• ${\vec {v}}\cdot {\vec {u}}=0$

Matrizen

• $A{\vec {v}}={\begin{pmatrix}-4\\9\end{pmatrix}}$
• $AB={\begin{pmatrix}0&17\\31&-9\end{pmatrix}}\quad \quad BA={\begin{pmatrix}16&8&-1\\13&-14&12\\-9&14&-11\end{pmatrix}}$
• ${\vec {v}}^{T}{\vec {u}}=-5\quad \quad {\vec {v}}{\vec {u}}^{T}={\begin{pmatrix}2&-3&1\\4&-6&2\\-2&3&-1\end{pmatrix}}\quad \quad (AB)^{T}={\begin{pmatrix}-3&1&2\\1&1&4\\1&3&5\end{pmatrix}}$
• ${\vec {v}}_{+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\quad \quad {\vec {v}}_{-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$
• $0=A^{T}-A$ also muss auch

$0={\vec {v}}_{1}^{T}(A^{T}-A){\vec {v}}_{2}=(A{\vec {v}}_{1})^{T}{\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}_{1}^{T}A{\vec {v}}_{2}=\lambda _{1}{\vec {v}}_{1}^{T}{\vec {v}}_{2}-\lambda _{2}{\vec {v}}_{1}^{T}{\vec {v}}_{2}=(\lambda _{1}-\lambda _{2}){\vec {v}}_{1}^{T}{\vec {v}}_{2}$

gelten. Da die Eigenwerte unterschiedlich sein sollen $\lambda _{1}-\lambda _{2}\neq 0$ muss demnach ${\vec {v}}_{1}^{T}{\vec {v}}_{2}=0$ gelten. Daher sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten einer symmetrischen Matrix $A=A^{T}$ orthogonal.

Komplexe Zahlen

• $(2+\mathrm {i} )+(3-2\mathrm {i} )=5-\mathrm {i}$
• $(1+\mathrm {i} )\cdot (-2+3\mathrm {i} )=-5+\mathrm {i}$
• ${\frac {1-2\mathrm {i} }{3+4\mathrm {i} }}=-{\frac {1}{5}}-{\frac {2}{5}}\mathrm {i}$
• $\mathrm {Re} ((1-2\mathrm {i} )-(4+5\mathrm {i} ))=-3$
• $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{4}}}=\operatorname {cos} (\pi /4)+\mathrm {i} \operatorname {sin} (\pi /4)={\frac {1+\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}$

Mathematische Grundlagen

Gruppen

• $M=\{0,1\}$ ist mit der Verknüpfung $\oplus$ und dem Neutralen Element $0$ eine abelsche Gruppe. Um das zu zeigen, ist es hilfreich zuerst an der Verknüpfungstabelle abzulesen, dass die Verknüpfung
  • abgeschlossen
  • kommutativ ($\Rightarrow$ abelsch)

ist. Die Assoziativität $a\oplus (b\oplus c)$ kann für die acht möglichen Fälle ausprobiert werden. Das Inverse Element zu $0$ ist $0$ und das Inverse Element zu $1$ ist $1$. Insgesamt handelt es sich also um eine abelsche Gruppe.

• $(\mathbb {N} _{0},+,0)$ ist ein Monid, da die Addition der nicht negativen Zahlen abgeschlossen und assoziativ ist. $0$ ist das Inverse Element der Addtion und Teil der Menge $\mathbb {N} _{0}$. Es handelt sich um keine Gruppe, da die Gleichung $a+x=0$ keine Lösung in $\mathbb {N} _{0}$ hat, wenn $a\neq 0$ ist.
• $(\mathbb {Q} \setminus \{0\},\cdot ,1)$ ist eine abelsche Gruppe, da die Multiplikation rationaler Zahlen abgeschlossen, assoziativ und kommutativ ist. Das Neutrale Element ist $1$ und in der Menge $\mathbb {Q} \setminus \{0\}$ enthalten. Jedes Element $x={\frac {n}{m}}$ hat das Inverse Element $x^{-1}={\frac {m}{n}}$ in der betrachten Menge, da $0$ nicht Teil der Menge ist und daher $n\neq 0$ ist.
• $(\mathbb {R} ,+,0)$ ist eine abelsche Gruppe, da die Additon reeller Zahlen abgeschlossen, assoziativ und kommutativ ist. Das neutrale Element $0$ ist eine relle Zahl und zu jeder Zahl $x$ ist das additive Inverse $-x$ Teil der Menge.
• $(\mathbb {R} ^{n\times n},\cdot ,I)$ ist ein Monoid. Die Matrixmultiplikation ist abgeschlossen und assoziativ. Sie ist nicht kommutativ! Das Neutrale Element $I$ ist Teil der rellen $n\times n$ Matrizen. Jedoch ist nicht jede Matrix Invertierbar. Eine Matrix die nur Nullen als Eintrag hat, kann bspw. durch keine Matrixmultiplikation das Ergebnis $I$ haben. (Würde die Invertierbarkeit gefordert werdeb, durch $\operatorname {det} (A)\neq 0$, würde es sich um eine Gruppe handeln, die aber nach wie vor nicht abelsch ist.)

Körper

• Damit es sich um einen Körper handelt, muss $(K\setminus \{0\},\cdot ,1)$ eine abelsche Gruppe sein. Nun ist aber $(\mathbb {Z} \setminus \{0\},\cdot ,1)$ keine Gruppe, da es für die Gleichung $a\cdot x=1$ keine Lösung in $\mathbb {Z} \setminus \{0\}$ gibt. Es gibt also keine Inversen.
• Die fehlenden Inversen im Fall von $\mathbb {Z}$ werden durch das Betrachten von $\mathbb {Q}$ umgangen. Die rationalen Zahlen bilden sowohl bzgl. der Addition, wie auch bzgl. der Multiplikation (unter Herausnehmen des Elements $0$) jeweils eine abelsche Gruppe. In den rationalen Zahlen gilt das Distributivgesetz.
• (optional) Die Elemente von $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ sind durch $\{0,1,\dots ,n-1\}$ gegeben.
  • $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ist bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe, denn die Addition ist abgeschlossen, assoziativ und kommutativ. Das Neutrale Element ist $0$ und es gibt zu jedem Element ein additives Inverses. (Ist $a$ das Element, so ist $n-a$ das Inverse.
  • Auf $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ gilt das Distributivgesetz.
  • $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \setminus \{0\},\cdot ,1)$ ist im Allgemeinen jedoch keine abelsche Gruppe, da es teilweise keine Inversen gibt. Als Beispiel kann hier $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ mit den Elementen $\{0,1,2,3\}$ betrachtet werden. Es zeigt sich, dass $2\cdot x=1$ keine Lösung in der betrachteten Menge hat.
  • Es handelt sich um einen Körper, falls $n$ eine Primzahl ist.
  • Bei $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ handelt es sich im allgemeinen um einen sogenannten Ring.

Vektorräume

• ${\begin{pmatrix}2+\mathrm {i} \\-3+2\mathrm {i} \end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1+3\mathrm {i} \\5-2\mathrm {i} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+4\mathrm {i} \\2+0\mathrm {i} \end{pmatrix}}$
• $(2+3\mathrm {i} )\cdot {\begin{pmatrix}1+\mathrm {i} \\-3+2\mathrm {i} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1+5\mathrm {i} \\-12-5\mathrm {i} \end{pmatrix}}$
• Ist $\mathbb {C} ^{N}$ ein Vektorraum?
  • Die Innere und Äußere Verknüpfung sind abgeschlossen, da sie komponentenweise stattfinden und die Addition bzw. Multiplikation in $\mathbb {C}$ abgeschlossen sind.
  • $(\mathbb {C} ,+,0)$ ist eine abelsche Gruppe, da die Innere Verknüpfung komponentenweise stattfindet und die Eigenschaften der Inneren Verknüpfung auf die Eigenschaften der Addition in $\mathbb {C}$ zurückgeführt werden können.
  • Das Eins-Axiom $1\cdot |v\rangle =|v\rangle$ ist erfüllt, da die Äußere Verknüpfung komponentenweise stattfindet und auf die Eigenschaft des multiplikativen neutralen Elements zurück geführt werden kann.
  • $(\lambda \cdot \mu )\odot |v\rangle =\lambda \odot (\mu \odot |v\rangle )$ ist ebenfalls erfüllt, da die Äußere Verknüpfung komponentenweise abläuft und sich somit auf die Assoziativität der Multiplikation in $\mathbb {C}$ zurückführen lässt.
  • $\lambda \odot (|v\rangle \oplus |w\rangle )=\lambda \odot |v\rangle \oplus \lambda \odot |w\rangle$ ist erfüllt, da die Innere und Äußere Verknüpfung komponentenweise definiert sind und sich dies Eigenschaft auf das Distributivgesetz in $\mathbb {C}$ zurückführen lässt.
  • $(\lambda +\mu )\odot |v\rangle =\lambda \odot |v\rangle \oplus \mu \odot |v\rangle$ ist erfüllt, da die Innere und Äußere Verknüpfung komponentenweise definiert sind und sich dies Eigenschaft auf das Distributivgesetz in $\mathbb {C}$ zurückführen lässt.

Hilberträume

• Eine Norm auf dem $\mathbb {C} ^{N}$, welche der Norm auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ ähnelt ist durch

$\||v\rangle \|={\sqrt {\sum _{k=0}^{N-1}|v_{k}|^{2}}}$ 

gegeben. Damit lässt sich für den gegebenen Vektor $\||v\rangle \|={\sqrt {18}}=3{\sqrt {2}}$ bestimmen.

• Die Sesquilinearität lässt sich zeigen, indem sie auf die Linearität von Summen zurückgeführt wird. Die Hermitizität lässt sich durch einsetzen zeigen. Die Positive Definitheit lässt sich durch die Positive Definitheit des Betrags in den Komplexen Zahlen zeigen.
• $\langle \lambda v+\mu w|u\rangle =\lambda ^{*}\langle v|u\rangle +\mu ^{*}\langle w|u\rangle$
• Die passende Wahl ist $\lambda ={\frac {\langle w|v\rangle }{\langle w|w\rangle }}$
• Die Vektoren sind linear unabhänigig. Schon in der ersten Zeile würde sich bei Trennung von Real- und Imaginärteil $\lambda =0$ und $\lambda +2\mu =0$ ergeben.
• Die Linearkombination $\sum _{m}\lambda _{m}|v_{m}\rangle =0=0$ lässt sich in ein Skalarpdukt mit $|v_{n}\rangle$ mit einem beliebigen aber festen $n$ nehmen. Wegen der Orthogonalität muss daher $\lambda _{n}\langle v_{n}|v_{n}\rangle =0$ gelten, was $\lambda _{n}=0$ nach sich zieht. Da $n$ beliebig war, gilt dies für jedes $n$.
• Durch einfaches Einsetzen kann die Aussage bewiesen werden. Für den $\mathbb {C} ^{N}$ kann die Basis $|n\rangle$ gewählt werden. In dieser ist die $n$-te Komponente des Vektors gerade Eins. Üblicherweise wird die Zahl $n$ dabei in Binärdarstellung angegeben, wodurch sich bspw.

$|010\rangle ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\in \mathbb {C} ^{8}$

ergibt.

Operatoren

• Die gegebenen Vektoren bilden eine Orthonormalbasis, da $\langle 0|0\rangle =\langle 1|1\rangle =1$ und $\langle 0|1\rangle =0$ gelten. Damit lassen sich die Matrixelemente

$\langle 0|A|0\rangle =0\quad \langle 0|A|1\rangle =-\mathrm {i} \quad \langle 1|A|0\rangle =\mathrm {i} \quad \langle 1|A|1\rangle =0$

bestimmen. Die Matrix selbst ist daber durch

$A={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}=-Z$

gegeben.

• Es lassen sich

$\lambda A|v\rangle ={\begin{pmatrix}-6-3\mathrm {i} \\19+2\mathrm {i} \end{pmatrix}}$

und

$\langle v|A^{\dagger }\lambda ^{*}={\begin{pmatrix}-6+3\mathrm {i} &19-2\mathrm {i} \end{pmatrix}}$

finden.

• Mit $h_{1}=h_{2}=h$ lässt sich

$0=(H|h\rangle )^{\dagger }|h\rangle -\langle h|\left(H|v\rangle \right)=(h^{*}-h)\langle h|h\rangle$

finden. Da $0$ kein Eigenvektor sein darf, muss $h-h^{*}=0\quad \Rightarrow \quad h=h^{*}$ sein. Mit $h_{1}\neq h_{2}$ wird stattdessen der Ausdruck

$0=(h_{1}-h_{2})\langle h_{1}|h_{2}\rangle$

gefunden. Da $h_{1}\neq h_{2}$ ist, muss $\langle h_{1}|h_{2}\rangle =0$ sein, die Vektoren sind daher orthogonal.

• Durch Einsetzen wird die Aussage bewiesen
• Mit

$U^{\dagger }={\begin{pmatrix}\cos {(\theta /2)}&\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \phi }\sin {(\theta /2)}\\-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \lambda }\sin {(\theta /2)}&\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} (\phi +\lambda )}\cos {(\theta /2)}\end{pmatrix}}$

lässt sich auch

$U^{\dagger }U={\begin{pmatrix}\cos {(\theta /2)}&\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \phi }\sin {(\theta /2)}\\-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \lambda }\sin {(\theta /2)}&\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} (\phi +\lambda )}\cos {(\theta /2)}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos {(\theta /2)}&-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda }\sin {(\theta /2)}\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi }\sin {(\theta /2)}&\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\phi +\lambda )}\cos {(\theta /2)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

ermitteln. Es ist zu beachten, dass $U^{\dagger }\neq U(-\theta ,-\lambda ,-\phi )$ gilt.

• Es lassen sich die beiden Produkte

$XY={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}=\mathrm {i} {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\quad \quad YX={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}=\mathrm {i} {\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

bestimmen, wodurch sich

$[X,Y]=XY-YX=2\mathrm {i} {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=2\mathrm {i} Z$

ergibt. Insgesamt erfüllen die Pauli-Matrizen die Kommutatorrelation $[\sigma _{i},\sigma _{j}]=2\mathrm {i} \epsilon _{ijk}\sigma _{k}$ wobei ${\displaystyle }$ das Levi-Civita-Symbol beschreibt und $+1$ für eine gerade Permutation von $(123)$, $-1$ für eine ungerade Permutation von $(123)$ und sonst $0$ ist. (Sie können verwendet werden, um den Spin von Teilchen zu beschreiben.)

Grundlegende Begriffe des Quantencomputing

Qubits und Grundlegende Operationen auf einem Qubit

• Es lässt sich die Projektion $\langle 0|x\rangle =\alpha$ bestimmen, so dass sich die Wahrscheinlichkeit $P(0)=|\alpha |^{2}$ ergeben muss.
• Zunächst lässt sich

$(U(\theta ,\phi ,\lambda ))^{\dagger }={\begin{pmatrix}\cos {\left({\frac {\theta }{2}}\right)}&\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \phi }\sin {\left({\frac {\theta }{2}}\right)}\\-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \lambda }\sin {\left({\frac {\theta }{2}}\right)}&\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} (\lambda +\phi )}\cos {\left({\frac {\theta }{2}}\right)}\end{pmatrix}}$ 

bestimmen. Dies kann mit

$U(\theta ',\phi ',\lambda ')={\begin{pmatrix}\cos {\left({\frac {\theta '}{2}}\right)}&-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda '}\sin {\left({\frac {\theta '}{2}}\right)}\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi '}\sin {\left({\frac {\theta '}{2}}\right)}&\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\lambda '+\phi ')}\cos {\left({\frac {\theta '}{2}}\right)}\end{pmatrix}}$

verglichen werden, um $\theta '=\theta$, $\phi '=\pi -\lambda$ und $\lambda '=\pi -\phi$ zu finden. Also kann

$(U(\theta ,\phi ,\lambda ))^{\dagger }=U(\theta ,\pi -\lambda ,\pi -\phi )$

geschrieben werden.

• Es kann

$HXYZ|0\rangle =\mathrm {i} |0\rangle$

gefunden werden.

• Die Wahrscheinlichkeit ist durch

$P(0)={\frac {1}{2}}$

gegeben.

Mehrere Qubits und Register

• $|+\rangle \otimes |-\rangle ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}}$
• Ja, denn

$\||x_{1}x_{0}\rangle \|^{2}=|\alpha _{1}|^{2}|\alpha _{0}|^{2}+|\alpha _{1}|^{2}|\beta _{0}|^{2}+|\beta _{1}|^{2}|\alpha _{0}|^{2}+|\beta _{1}|^{2}|\beta _{0}|^{2}=|\alpha _{1}|^{2}\underbrace {(|\alpha _{0}|^{2}+|\beta _{0}|^{2})} _{=1}+|\beta _{1}|^{2}\underbrace {(|\alpha _{0}|^{2}+|\beta _{0}|^{2})} _{=1}=|\alpha _{1}|^{2}+|\beta _{1}|^{2}=1$

• $P(0,1)={\frac {5}{8}}\quad \quad |R_{2}'\rangle =\left({\sqrt {\frac {3}{5}}}|0\rangle -{\sqrt {\frac {2}{5}}}|1\rangle \right)\otimes |0\rangle$
• $I\otimes I={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\quad \quad H\otimes I={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&-1\end{pmatrix}}\quad \quad H\otimes H={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix}}$
• $C_{X}|00\rangle =|00\rangle$, $C_{X}|01\rangle =|01\rangle$, $C_{X}|10\rangle =|11\rangle$, $C_{X}|11\rangle =|10\rangle$
• $|\Psi \rangle ={\frac {1}{2}}(|000\rangle -|010\rangle +|1000\rangle -|110\rangle )$

Nach der Messung ergibt sich mit einer Wahrscheinlichkeit ${\frac {1}{2}}$ der Zustand

$|\Psi '\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|010\rangle +|110\rangle )$

Wird stattdessen $I\otimes X\otimes H$ auf den Zustand $|\Psi \rangle$ angewandt, so kann der Zustand

${\frac {1}{\sqrt {8}}}(-|000\rangle -|001\rangle +|010\rangle +|011\rangle -|100\rangle -|110\rangle +|110\rangle +|111\rangle )$

gefunden werden.

Eine kurze Einführung in Qiskit

• Jupyter Notebook "Einstieg in Qiskit mit Lösungen"

Einige einfachen Quantenalgorithmen

• Jupyter Notebook "Zufallsgenerator mit Lösungen"
• Jupyter Notebook "Das Problem von Deutsch mit Lösungen"

Quantenteleportation und -kryptographie

• Jupyter Notebook "Quantenteleportation - und Kryptographie mit Lösungen"