Kurs:Quantencomputing/Gruppe

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Definitonen

Magma

Auf einer Menge $M$ lässt sich eine zweistellige Verknüpfung $\oplus :M\times M\to M$ definieren. Ist diese Verknüpfung abgeschlossen, also liegen die Ergebnisse jeder möglichen Verknüpfung wieder in $M$, so wird $(M,\oplus )$ als Magma bezeichnet.

Halbgruppe

Ist $(M,\oplus )$ ein Magma und die Verknüpfung $\oplus$ assoiziativ
$\forall _{a,b,c\in M}a\oplus (b\oplus c)=(a\oplus b)\oplus c$
so wird $(M,\oplus )$ als Halbgruppe bezeichnet.

Monoid

Ist $(M,\oplus )$ eine Halbgruppe und besitzt ein Element $0$ so dass für jedes Element $a\in M$ der Zusammenhang
$a\oplus 0=0\oplus a=a$
gilt, so heißt $(M,\oplus ,0)$ Monoid und $0$ heißt Neutrales Element.

Gruppe

Ist $(M,\oplus ,0)$ ein Monid und existiert für alle $a\in M$ ein Element $-a\in M$, welches
$a\oplus -a=-a\oplus a=0$ erfüllt, so heißt $(M,\oplus ,0)$ Gruppe und das Element $-a$ heißt Inverses Element zu $a$.

Abelsche Gruppe

Ist $(M,\oplus ,0)$ eine Gruppe und gilt für alle $a,b\in M$ der Zusammenhang
$a\oplus b=b\oplus a$
so wird die Gruppe als abelsche Gruppe bezeichnet.

Anmerkungen

Die Überlegungen, die hier aus der Addition heraus entwickelt wurden, lassen sich auch auf die Multiplikation anwenden. In diesem Fall wird als Verknüpfung meist $\odot$, für das Neutrale Element $1$ und für Inverse Element $a^{-1}$ als Bezeichnung gewählt.

Aufgaben

• Zeige dass die Menge $\{0,1\}$ mit der Verknüpfung $\oplus$ und der Verknüpfungstabelle

Verknüpfungstabelle

$\oplus$	$0$	$1$
$0$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$

eine abelsche Gruppe ist. Was ist das Neutrale Element?

• Prüfe um welche oben definierte Struktur es sich jeweils bei
  

$(\mathbb {N} _{0},+,0)\quad \quad (\mathbb {Q} \setminus \{0\},\cdot ,1)\quad \quad (\mathbb {R} ,+,0)\quad \quad (\mathbb {R} ^{n\times n},\cdot ,I)$
handelt. Begründe, warum es sich nicht um die nächst höhere Struktur handeln kann.

Lösungen

Siehe auch

• Weitere Informationen können in dem Wikipedia-Artilel Gruppe gefunden werden.