Kurs:Quantencomputing/Qubits

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Qubits

Ein Qubit befindet sich in einer Superposition der Zustände

$|0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

und

$|1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

Der Zustand $|x\rangle$ kann daher mit den Amplituden $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$ als

$|x\rangle ={\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}$

geschrieben werden. Da der Zustand normiert sein soll muss

$|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1$

gelten.

Operationen

Das Qubit kann verändert werden ohne es zu messen, indem unitäre Operatoren $UU^{\dagger }=U^{\dagger }U=I$ auf es angewandt werden. Eine allgemeine unitäre $2\times 2$-Matrix war durch

$U(\theta ,\phi ,\lambda )={\begin{pmatrix}\cos {\left({\frac {\theta }{2}}\right)}&-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda }\sin {\left({\frac {\theta }{2}}\right)}\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi }\sin {\left({\frac {\theta }{2}}\right)}&\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\lambda +\phi )}\cos {\left({\frac {\theta }{2}}\right)}\end{pmatrix}}$

gegeben. Aus $U$ lassen sich für verschiedene Werte von $\theta$, $\phi$ und $\lambda$ alle anderen unitären Matrizen ermitteln. In qiskit wird $U(\theta ,\phi ,\lambda )$ durch

u(<theta>, <phi>, <lambda>, <qubit>)

aufgerufen.

Identität

Die Identität ist durch

$I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=U(0,0,0)$

gegeben und wirkt auf ein Qubit gemäß

$I{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}$

Sie wird in Qiskit durch

id(<qubit>)

aufgerufen.

Pauli-X-Gatter

Das Pauli-X-Gatter ist durch

$X={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}=U(\pi ,0,\pi )$

gegeben und wirkt auf ein Qubit gemäß

$X{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\beta \\\alpha \end{pmatrix}}$

Es wird in Qiskit durch

x(<qubit>)

aufgerufen.

Pauli-Z-Gatter

Das Pauli-Z-Gatter ist durch

$Z={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=U(0,0,\pi )$

gegeben und wirkt auf ein Qubit gemäß

$Z{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha \\-\beta \end{pmatrix}}$

Es wird in Qiskit durch

z(<qubit>)

aufgerufen.

Pauli-Y-Gatter

Das Pauli-Y-Gatter ist durch

$Y={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}=U(\pi ,\pi /2,\pi /2)=\mathrm {i} XZ$

gegeben und wirkt auf ein Qubit gemäß

$Y{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\mathrm {i} \beta \\\mathrm {i} \alpha \end{pmatrix}}$

Es wird in Qiskit durch

y(<qubit>)

aufgerufen.

Phasen-Gatter

Das Phasen-Gatter ist durch

$P(\lambda )={\begin{pmatrix}1&0\\0&\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda }\end{pmatrix}}=U(0,0,\lambda )$

gegeben und wirkt auf ein Qubit gemäß

$P(\lambda ){\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha \\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda }\beta \end{pmatrix}}$

Es wird in Qiskit durch

p(<lambda>, <qubit>)

aufgerufen.

Hadamard-Gatter

Das Hadamard-Gatter (auch Hadamard-Transformation) ist durch

$H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=U(\pi /2,0,\pi )$

gegeben und wirkt auf ein Qubit gemäß

$H{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\alpha +\beta \\\alpha -\beta \end{pmatrix}}$

Es wird in Qiskit durch

h(<qubit>)

aufgerufen. Die Zustände $|0\rangle$ und $|1\rangle$ werden auf die Zustände

$|+\rangle =H|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$

und

$|-\rangle =H|1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$

abgebildet, die auch als Hadamard-Basis bezeichnet werden.

Messung

Eine Messung ist nicht unitär. Sie reduziert den Zustand auf $|0\rangle$ oder $|1\rangle$. Die Wahrscheinlichkeit für jeden der Zustände ist durch das Betragsquadrat der jeweiligen Amplitude zu bestimmen. Sie wird in qiskit durch

measure(<qubit>, <cbit>)

aufgerufen und schreibt den Messwert stets in das klassische Bit cbit

Aufgaben

• Mit welcher Wahrscehinlichkeit werden die Zustände $|0\rangle$ und $|1\rangle$ im Zustand

$|x\rangle ={\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}$

gemessen?

• Drücke $(U(\theta ,\phi ,\lambda ))^{\dagger }$ durch $U(\theta ',\phi ',\lambda ')$ aus.
• Bestimme $HXYZH|0\rangle$.
• Wie groß ist die Wahrscheinlihckeit $|0\rangle$ im Zusatnd $|+\rangle$ zu messen?

Lösungen

Siehe auch

Weitere Informationen können im Wikipedia-Artilel Qubit gefunden werden.