Register mit 2 Qubits
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Der Zustand von zwei Qubits wird durch einen Vektor des
C
4
{\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}
mit der Basis
|
00
⟩
=
(
1
0
0
0
)
|
01
⟩
=
(
0
1
0
0
)
|
10
⟩
=
(
0
0
1
0
)
|
11
⟩
=
(
0
0
0
1
)
{\displaystyle |00\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad \quad |01\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\quad \quad |10\rangle ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\quad \quad |11\rangle ={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}}
beschreiben. Zusammenfassend wird diese durch
|
X
⟩
X
∈
{
0
,
1
}
2
=
{
00
,
01
,
10
,
11
}
{\displaystyle |X\rangle \quad \quad X\in \{0,1\}^{2}=\{00,01,10,11\}}
ausgedrückt. Ein System, dass aus mehreren Qubits besteht wird als Register bezeichnet und durch
|
R
⟩
{\displaystyle |R\rangle }
gekennzeichnet. Ein Register aus Zwei-Qubits kann sich im normierten Zustand
|
R
2
⟩
=
γ
00
|
00
⟩
+
γ
01
|
01
⟩
+
γ
10
|
10
⟩
+
γ
11
|
11
⟩
{\displaystyle |R_{2}\rangle =\gamma _{00}|00\rangle +\gamma _{01}|01\rangle +\gamma _{10}|10\rangle +\gamma _{11}|11\rangle }
befinden. Zur Normierung muss
‖
|
R
2
⟩
‖
2
=
⟨
R
2
|
R
2
⟩
=
|
γ
00
|
2
+
|
γ
01
|
2
+
|
γ
10
|
2
+
|
γ
11
|
2
=
1
{\displaystyle \||R_{2}\rangle \|^{2}=\langle R_{2}|R_{2}\rangle =|\gamma _{00}|^{2}+|\gamma _{01}|^{2}+|\gamma _{10}|^{2}+|\gamma _{11}|^{2}=1}
erfüllt sein.
Tensorprodukt für 2 Qubits
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Auch der Zustand zweier Qubits, die zunächst nichts miteinander zu tun haben, muss durch ein Register auszudrücken sein. Sind die beiden Qubitzustände
|
x
0
⟩
=
α
0
|
0
⟩
+
β
0
|
1
⟩
=
(
α
0
β
0
)
{\displaystyle |x_{0}\rangle =\alpha _{0}|0\rangle +\beta _{0}|1\rangle ={\begin{pmatrix}\alpha _{0}\\\beta _{0}\end{pmatrix}}}
und
|
x
1
⟩
=
α
1
|
0
⟩
+
β
1
|
1
⟩
=
(
α
1
β
1
)
{\displaystyle |x_{1}\rangle =\alpha _{1}|0\rangle +\beta _{1}|1\rangle ={\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\beta _{1}\end{pmatrix}}}
gegeben, wird das Tensorprodukt passend zur obigen Basis durch
|
x
1
x
0
⟩
=
|
x
1
⟩
|
x
0
⟩
=
|
x
1
⟩
⊗
|
x
0
⟩
=
(
α
1
β
1
)
⊗
(
α
0
β
0
)
≡
(
α
1
α
0
α
1
β
0
β
1
α
0
β
1
β
0
)
{\displaystyle |x_{1}x_{0}\rangle =|x_{1}\rangle |x_{0}\rangle =|x_{1}\rangle \otimes |x_{0}\rangle ={\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\beta _{1}\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}\alpha _{0}\\\beta _{0}\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}\alpha _{1}\alpha _{0}\\\alpha _{1}\beta _{0}\\\beta _{1}\alpha _{0}\\\beta _{1}\beta _{0}\end{pmatrix}}}
definiert.
Das Tensorprodukt ist mit dem Skalarprodukt verträglich. So gilt für die Zustände
|
x
1
x
0
⟩
{\displaystyle |x_{1}x_{0}\rangle }
und
|
y
1
y
0
⟩
{\displaystyle |y_{1}y_{0}\rangle }
auch
⟨
y
1
y
0
|
x
1
x
0
⟩
=
⟨
y
1
|
x
1
⟩
⋅
⟨
y
0
|
x
0
⟩
{\displaystyle \langle y_{1}y_{0}|x_{1}x_{0}\rangle =\langle y_{1}|x_{1}\rangle \cdot \langle y_{0}|x_{0}\rangle }
Ein Register kann sich auch in einem Zustand befinden, der sich nicht als Tensorprodukt ausdrücken lässt. Ein Beispiel hierfür ist
|
R
2
⟩
=
1
2
(
|
00
⟩
+
|
11
⟩
)
{\displaystyle |R_{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}
Solche Zustände heißen verschränkt .
Messung von Registern
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Bei Messungen eines einzelnen Qubits, bspw. des Qubits 0, wird ein Projektor
P
{\displaystyle P}
mit der Eigenschaft
P
2
=
P
{\displaystyle P^{2}=P}
angewendet. Da nur die Zustände
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
und
|
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle }
gemessen werden können sind nur die Projektoren
P
0
(
k
)
=
|
0
⟩
k
⟨
0
|
k
P
1
(
k
)
=
|
1
⟩
k
⟨
1
|
k
{\displaystyle P_{0}^{(k)}=|0\rangle _{k}\langle 0|_{k}\quad \quad P_{1}^{(k)}=|1\rangle _{k}\langle 1|_{k}}
von interessen, bei denen
k
{\displaystyle k}
angibt, welches Qubit gemessen wird. Die Wahrscheinlichkeit an einem Register im Zustand
|
R
2
⟩
{\displaystyle |R_{2}\rangle }
für das Qubit
k
{\displaystyle k}
den Zustand
ϵ
∈
{
0
,
1
}
{\displaystyle \epsilon \in \{0,1\}}
zu messen ist durch
P
(
k
,
ϵ
)
=
‖
P
ϵ
(
k
)
|
R
2
⟩
‖
2
{\displaystyle P(k,\epsilon )=\|P_{\epsilon }^{(k)}|R_{2}\rangle \|^{2}}
gegeben. Das System befindet sich nach der Messung im Zustand
|
R
2
′
⟩
=
P
ϵ
(
k
)
|
R
2
⟩
‖
P
ϵ
(
k
)
|
R
2
⟩
‖
{\displaystyle |R_{2}^{'}\rangle ={\frac {P_{\epsilon }^{(k)}|R_{2}\rangle }{\|P_{\epsilon }^{(k)}|R_{2}\rangle \|}}}
Operationen auf Registern auf 2 Qubits
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Wird auf Qubit 1 die Operation
A
{\displaystyle A}
und auf Qubit 0 die Operation
B
{\displaystyle B}
angewendet, so lässt sich dies mittels des Tensorprodkts durch eine
4
×
4
{\displaystyle 4\times 4}
-Matrix darstellen. Diese ist durch
A
⊗
B
=
(
A
00
A
01
A
10
A
11
)
⊗
(
B
00
B
01
B
10
B
11
)
=
(
A
00
B
A
01
B
A
10
B
A
11
B
)
=
(
A
00
B
00
A
00
B
01
A
01
B
00
A
01
B
01
A
00
B
10
A
00
B
11
A
01
B
10
A
01
B
11
A
10
B
00
A
10
B
01
A
11
B
00
A
11
B
01
A
10
B
10
A
10
B
11
A
11
B
10
A
11
B
11
)
{\displaystyle A\otimes B={\begin{pmatrix}A_{00}&A_{01}\\A_{10}&A_{11}\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}B_{00}&B_{01}\\B_{10}&B_{11}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{00}B&A_{01}B\\A_{10}B&A_{11}B\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{00}B_{00}&A_{00}B_{01}&A_{01}B_{00}&A_{01}B_{01}\\A_{00}B_{10}&A_{00}B_{11}&A_{01}B_{10}&A_{01}B_{11}\\A_{10}B_{00}&A_{10}B_{01}&A_{11}B_{00}&A_{11}B_{01}\\A_{10}B_{10}&A_{10}B_{11}&A_{11}B_{10}&A_{11}B_{11}\end{pmatrix}}}
definiert. Da das Tensorprodukt mit dem Skalarprodukt verträglich ist, lässt sich mit den Zuständen
|
x
1
x
0
⟩
{\displaystyle |x_{1}x_{0}\rangle }
und
|
y
1
y
0
⟩
{\displaystyle |y_{1}y_{0}\rangle }
auch
⟨
y
1
y
0
|
A
⊗
B
|
x
1
x
0
⟩
=
⟨
y
1
|
A
|
x
1
⟩
⋅
⟨
y
0
|
B
|
x
0
⟩
{\displaystyle \langle y_{1}y_{0}|A\otimes B|x_{1}x_{0}\rangle =\langle y_{1}|A|x_{1}\rangle \cdot \langle y_{0}|B|x_{0}\rangle }
finden.
Es gibt auch hier Operationen, die sich nicht als Tensorprodukt darstellen lassen. Ein wichtiges Beispiel ist das CNOT-Gatter . Es lässt sich in qiskit durch
cx(<qubit x1>, <qubit x0>)
aufrufen und ist durch die Matrix
C
X
=
(
I
0
0
X
)
=
(
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
)
{\displaystyle C_{X}={\begin{pmatrix}I&0\\0&X\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}}
definiert. Auf den Zustand
|
x
1
x
0
⟩
=
(
α
1
α
0
α
1
β
0
β
1
α
0
β
1
β
0
)
{\displaystyle |x_{1}x_{0}\rangle ={\begin{pmatrix}\alpha _{1}\alpha _{0}\\\alpha _{1}\beta _{0}\\\beta _{1}\alpha _{0}\\\beta _{1}\beta _{0}\end{pmatrix}}}
hat es die Wirkung
C
X
|
x
1
x
0
⟩
=
(
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
)
(
α
1
α
0
α
1
β
0
β
1
α
0
β
1
β
0
)
=
(
α
1
α
0
α
1
β
0
β
1
β
0
β
1
α
0
)
{\displaystyle C_{X}|x_{1}x_{0}\rangle ={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha _{1}\alpha _{0}\\\alpha _{1}\beta _{0}\\\beta _{1}\alpha _{0}\\\beta _{1}\beta _{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha _{1}\alpha _{0}\\\alpha _{1}\beta _{0}\\\beta _{1}\beta _{0}\\\beta _{1}\alpha _{0}\end{pmatrix}}}
Ist das Bit
x
1
{\displaystyle x_{1}}
im Zustand
|
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle }
, so wird ein Bitflip auf dem Bit
x
0
{\displaystyle x_{0}}
ausgeführt. Daher wird das CNOT-Gatter als bedingte Negation bezeichnet. Es wird auch häufig durch
C
X
|
x
1
⟩
|
x
0
⟩
=
|
x
1
⟩
|
x
1
⊕
x
0
⟩
{\displaystyle C_{X}|x_{1}\rangle |x_{0}\rangle =|x_{1}\rangle |x_{1}\oplus x_{0}\rangle }
ausgedrückt, sofern
x
1
,
x
0
∈
{
0
,
1
}
{\displaystyle x_{1},x_{0}\in \{0,1\}}
sind. Hierbei ist
⊗
{\displaystyle \otimes }
das exklusive oder.
Wie bei der Anwendung auf einzelne Qubits kann das Hintereinanderanwenden durch Matrixmultiplikationen bestimmt werden. So kann bspw.
C
X
(
H
⊗
I
)
=
1
2
(
I
0
0
X
)
(
I
I
I
−
I
)
=
1
2
(
I
I
X
−
X
)
=
1
2
(
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
−
1
1
0
−
1
0
)
{\displaystyle C_{X}(H\otimes I)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}I&0\\0&X\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I&I\\I&-I\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}I&I\\X&-X\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\0&1&0&-1\\1&0&-1&0\end{pmatrix}}}
gefunden werden. Auf ein Register im Zustand
|
x
1
x
0
⟩
=
(
α
1
α
0
α
1
β
0
β
1
α
0
β
1
β
0
)
{\displaystyle |x_{1}x_{0}\rangle ={\begin{pmatrix}\alpha _{1}\alpha _{0}\\\alpha _{1}\beta _{0}\\\beta _{1}\alpha _{0}\\\beta _{1}\beta _{0}\end{pmatrix}}}
hat dies die Wirkung
C
X
(
H
⊗
I
)
|
x
1
x
0
⟩
=
1
2
(
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
−
1
1
0
−
1
0
)
(
α
1
α
0
α
1
β
0
β
1
α
0
β
1
β
0
)
=
1
2
(
(
α
1
+
β
1
)
α
0
(
α
1
+
β
1
)
β
0
(
α
1
−
β
1
)
β
0
(
α
1
−
β
1
)
α
0
)
{\displaystyle C_{X}(H\otimes I)|x_{1}x_{0}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\0&1&0&-1\\1&0&-1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha _{1}\alpha _{0}\\\alpha _{1}\beta _{0}\\\beta _{1}\alpha _{0}\\\beta _{1}\beta _{0}\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}(\alpha _{1}+\beta _{1})\alpha _{0}\\(\alpha _{1}+\beta _{1})\beta _{0}\\(\alpha _{1}-\beta _{1})\beta _{0}\\(\alpha _{1}-\beta _{1})\alpha _{0}\end{pmatrix}}}
Wirkend auf die Basiszustände
|
00
⟩
,
|
01
⟩
,
|
10
⟩
,
|
11
⟩
{\displaystyle |00\rangle ,|01\rangle ,|10\rangle ,|11\rangle }
können so die Zustände
|
Φ
+
⟩
=
C
X
(
H
⊗
I
)
|
00
⟩
=
1
2
(
|
00
⟩
+
|
11
⟩
)
|
Φ
−
⟩
=
C
X
(
H
⊗
I
)
|
10
⟩
=
1
2
(
|
00
⟩
−
|
11
⟩
)
{\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle =C_{X}(H\otimes I)|00\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )\quad \quad |\Phi ^{-}\rangle =C_{X}(H\otimes I)|10\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle -|11\rangle )}
und
|
Ψ
+
⟩
=
C
X
(
H
⊗
I
)
|
01
⟩
=
1
2
(
|
01
⟩
+
|
10
⟩
)
|
Ψ
−
⟩
=
C
X
(
H
⊗
I
)
|
10
⟩
=
1
2
(
|
01
⟩
−
|
10
⟩
)
{\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle =C_{X}(H\otimes I)|01\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle +|10\rangle )\quad \quad |\Psi ^{-}\rangle =C_{X}(H\otimes I)|10\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle -|10\rangle )}
gefunden werden. Diese werden als Bell-Basis bezeichnet und spielen bei der Quantenkryptographie und den Bell'schen Ungleichungen eine wichtige Rolle.
Damit zeigt sich, dass das CNOT-Gatter benutzt werden kann, um Qubits miteinander zu verschränken. Es ist dabei aber zu beachten, dass dies nich für jeden beliebigen Zustand der Fall ist. So ist bspw.
C
X
|
00
⟩
=
|
00
⟩
{\displaystyle C_{X}|00\rangle =|00\rangle }
kein verschränkter Zustand.
Die oben aufgeführten Begriffe lassen sich auf mehrere Qubits verallgemeinern. Werden
n
{\displaystyle n}
Qubits betrachtet, so müssen Vektoren aus dem
C
N
{\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}
mit
N
=
2
n
{\displaystyle N=2^{n}}
verwendet werden. Als Basis wird
|
X
⟩
{\displaystyle |X\rangle }
mit
X
∈
{
0
,
1
}
n
{\displaystyle X\in \{0,1\}^{n}}
gewählt. Ein solche Ansammlung von
n
{\displaystyle n}
Qubits wird als Register und dessen Zustands mit
|
R
n
⟩
{\displaystyle |R_{n}\rangle }
bezeichnet. Der Zustandsvektor muss durch
|
R
n
⟩
=
∑
X
∈
{
0
,
1
}
n
c
X
|
X
⟩
{\displaystyle |R_{n}\rangle =\sum _{X\in \{0,1\}^{n}}c_{X}|X\rangle }
mit
‖
|
R
n
⟩
‖
2
=
∑
X
∈
{
0
,
1
}
n
|
c
X
|
2
=
1
{\displaystyle \||R_{n}\rangle \|^{2}=\sum _{X\in \{0,1\}^{n}}|c_{X}|^{2}=1}
gegeben sein.
Sind für
n
{\displaystyle n}
Qubits die Zustände
|
x
k
⟩
{\displaystyle |x_{k}\rangle }
mit
k
∈
{
0
,
1
,
…
,
n
−
1
}
{\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n-1\}}
bekannt, so kann der Zustand des Registers durch das Tensorprodukt
|
R
n
⟩
=
⨂
k
=
0
n
|
x
k
⟩
=
|
x
n
−
1
⟩
⊗
|
x
n
−
2
⟩
⊗
⋯
⊗
|
x
1
⟩
⊗
|
x
0
⟩
=
|
x
n
−
1
x
n
−
2
…
x
1
x
0
⟩
{\displaystyle |R_{n}\rangle =\bigotimes _{k=0}^{n}|x_{k}\rangle =|x_{n-1}\rangle \otimes |x_{n-2}\rangle \otimes \cdots \otimes |x_{1}\rangle \otimes |x_{0}\rangle =|x_{n-1}x_{n-2}\dots x_{1}x_{0}\rangle }
bestimmt werden. Das Tensorprodukt ist dabei gemäß
⟨
y
n
−
1
…
y
0
|
x
n
−
1
…
x
0
⟩
=
∏
k
=
0
n
−
1
⟨
y
k
|
x
k
⟩
=
⟨
y
n
−
1
|
x
n
−
1
⟩
⋅
⟨
y
n
−
2
|
x
n
−
2
⟩
⋯
⟨
y
1
|
x
1
⟩
⋅
⟨
y
0
|
x
0
⟩
{\displaystyle \langle y_{n-1}\dots y_{0}|x_{n-1}\dots x_{0}\rangle =\prod _{k=0}^{n-1}\langle y_{k}|x_{k}\rangle =\langle y_{n-1}|x_{n-1}\rangle \cdot \langle y_{n-2}|x_{n-2}\rangle \cdots \langle y_{1}|x_{1}\rangle \cdot \langle y_{0}|x_{0}\rangle }
mit dem Skalarprodukt verträglich.
Werden Operationen auf die einzelnen Qubits ausgeführt, lässt sich auch dies durch das Tensorprodukt von Operatoren beschreiben. Mit dem Operator
⨂
k
=
0
n
−
1
A
k
=
A
n
−
1
⊗
A
n
−
1
⊗
⋯
⊗
A
1
⊗
A
0
{\displaystyle \bigotimes _{k=0}^{n-1}A_{k}=A_{n-1}\otimes A_{n-1}\otimes \cdots \otimes A_{1}\otimes A_{0}}
und den Baisiszuständen
|
X
⟩
{\displaystyle |X\rangle }
,
|
Y
⟩
{\displaystyle |Y\rangle }
mit
X
,
Y
∈
{
0
,
1
}
n
{\displaystyle X,Y\in \{0,1\}^{n}}
lässt sich so
A
=
∑
X
,
Y
∈
{
0
,
1
}
n
|
Y
⟩
⟨
Y
|
A
|
X
⟩
⟨
X
|
{\displaystyle A=\sum _{X,Y\in \{0,1\}^{n}}|Y\rangle \langle Y|A|X\rangle \langle X|}
mit
⟨
Y
|
A
|
X
⟩
=
⟨
y
n
−
1
…
y
0
|
A
|
x
n
−
1
…
x
0
⟩
=
∏
k
=
0
n
−
1
⟨
y
k
|
A
k
|
x
k
⟩
=
⟨
y
n
−
1
|
A
k
|
x
n
−
1
⟩
⟨
˙
y
n
−
2
|
A
k
|
x
n
−
2
⟩
⋯
⟨
y
1
|
A
k
|
x
1
⟩
⋅
⟨
y
0
|
A
k
|
x
0
⟩
{\displaystyle \langle Y|A|X\rangle =\langle y_{n-1}\dots y_{0}|A|x_{n-1}\dots x_{0}\rangle =\prod _{k=0}^{n-1}\langle y_{k}|A_{k}|x_{k}\rangle =\langle y_{n-1}|A_{k}|x_{n-1}\rangle {\dot {\langle }}y_{n-2}|A_{k}|x_{n-2}\rangle \cdots \langle y_{1}|A_{k}|x_{1}\rangle \cdot \langle y_{0}|A_{k}|x_{0}\rangle }
bestimmen.
Prinzipiell könnten auch Operationen definiert werden, die sich nicht als solch ein Tensorprodukt schreiben lassen. Es wird in der Informatik allerdings häufig der Begriff der Lokalität eingeführt. Ein Gatter wird als lokal bezeichnet, wenn es höchstens 3 Qubits miteinander verschränkt. (Dadurch lassen sich Algorithmen einfacher analysieren. Prinzipiell würden bereits 2 Qubits reichen, jedoch gibt es das sogennante Toffoli-Gatter, das es erlaubt Operationen wie UND oder die Negation auf einfache Weise zu implimentieren. Dieses benötigt aber 3 Qubits.)
Die Hadamard-Transformation auf
n
{\displaystyle n}
Qubits wird durch
H
n
=
H
⊗
H
⊗
⋯
⊗
H
⏟
n
−
m
a
l
=
⨂
k
=
0
n
−
1
H
{\displaystyle H_{n}=\underbrace {H\otimes H\otimes \cdots \otimes H} _{n\mathrm {-mal} }=\bigotimes _{k=0}^{n-1}H}
definiert. Da die einfache Hadamard-Transformation auf die Basiselemente
x
∈
{
0
,
1
}
{\displaystyle x\in \{0,1\}}
die Wirkung
H
|
x
⟩
=
1
2
(
|
0
⟩
+
(
−
1
)
x
|
1
⟩
)
{\displaystyle H|x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +(-1)^{x}|1\rangle )}
hat, kann die Hadamard-Transformation
H
n
{\displaystyle H_{n}}
bei Wirkung auf die Basiselemente
|
X
⟩
{\displaystyle |X\rangle }
mit
X
∈
{
0
,
1
}
n
{\displaystyle X\in \{0,1\}^{n}}
durch
H
n
|
X
⟩
=
1
2
n
⨂
k
=
0
n
−
1
(
|
0
⟩
+
(
−
1
)
x
k
|
1
⟩
)
{\displaystyle H_{n}|X\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\bigotimes _{k=0}^{n-1}(|0\rangle +(-1)^{x_{k}}|1\rangle )}
ausgedrückt werden. Damit lässt sich auch direkt
H
n
|
0
…
0
⟩
=
1
2
n
⨂
k
=
0
n
−
1
(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
)
=
1
2
n
∑
Y
∈
{
0
,
1
}
n
|
Y
⟩
{\displaystyle H_{n}|0\dots 0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\bigotimes _{k=0}^{n-1}(|0\rangle +|1\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum _{Y\in \{0,1\}^{n}}|Y\rangle }
finden, was als gleichgewichtige Superposition bezeichnet wird und ein häufiger Startpunkt für einen Quantenalgorithmus ist.
Es lässt sich auch zeigen, dass
H
n
|
X
⟩
=
1
2
n
∑
Y
∈
{
0
,
1
}
n
(
−
1
)
X
⋅
Y
|
Y
⟩
{\displaystyle H_{n}|X\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum _{Y\in \{0,1\}^{n}}(-1)^{X\cdot Y}|Y\rangle }
mit
X
⋅
Y
=
⨁
k
=
0
n
−
1
x
k
⋅
y
k
=
(
∑
k
=
0
n
−
1
x
k
⋅
y
k
)
m
o
d
2
{\displaystyle X\cdot Y=\bigoplus _{k=0}^{n-1}x_{k}\cdot y_{k}=\left(\sum _{k=0}^{n-1}x_{k}\cdot y_{k}\right)\mathrm {\,mod\,} 2}
gilt.
{\displaystyle }