Kurs:Quantencomputing/Ableitungen

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Definiton

Die Ableitung einer stetigen Funktion $f(x)$ ist durch
$f'(x)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$
definiert.

Beispiele

Liste einfacher Ableitungen

$f(x)$	$f'(x)$
$c\in \mathbb {R}$	$0$
$x$	$1$
$x^{2}$	$2x$
$x^{n}$	$n\cdot x^{n-1}$
$\operatorname {sin} (x)$	$\operatorname {cos} (x)$
$\operatorname {cos} (x)$	$-\operatorname {sin} (x)$
$\mathrm {e} ^{x}$	$\mathrm {e} ^{x}$

Regeln

Ableitungen gehorchen den folgenden Regeln

• Linearität $(a\cdot f(x)+b\cdot g(x))'=a\cdot f'(x)+b\cdot g'(x)$
• Produktregel $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
• Kettenregel $(f(g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$
• Quotientenregel $\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)={\frac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}}$

Aufgaben

Bestimme $f'(x)$ für

• $f(x)=3x^{2}-2x\operatorname {sin} (x)+3-2\operatorname {cos} (3x)$
• $g(x)=\operatorname {sin} (x)\cdot \operatorname {cos} (x)+3\mathrm {e} ^{-2x^{2}}$
  
  

Lösungen

Siehe auch

• Weiteres lässt sich im Wikipedia-Artikel Differenzierbarkeit einsehen.