Kurs:Quantencomputing/Vektorraum

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Definiton

Es seien eine Menge $V$ mit den Elementen $|v\rangle$ und ein Körper $K$ mit der additiven Verknüfpung $+$, der Multiplikativen Verknüpfung $\cdot$ und dem Neutralen Element bzgl. der Multiplikation $1$ gegeben.
Darüber hinaus sollen eine Innere Verknüpfung $\oplus :V\times V\to V$ und eine Äußere Verknüpfung $\otimes :K\times V\to V$ gegeben sein.
$(V,\oplus ,\odot ,K)$ heißt Vektorraum, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind

• $(V,\oplus ,0)$ ist eine abelsche Gruppe
• Für beliebige $\lambda ,\mu \in K$ und $|v\rangle ,|w\rangle \in V$ gelten
  • $1\odot |v\rangle =|v\rangle$
  • $(\lambda \cdot \mu )\odot |v\rangle =\lambda \odot (\mu \odot |v\rangle )$
  • $\lambda \odot (|v\rangle \oplus |w\rangle )=\lambda \odot |v\rangle \oplus \lambda \odot |w\rangle$
  • $(\lambda +\mu )\odot |v\rangle =\lambda \odot |v\rangle \oplus \mu \odot |v\rangle$

Bemerkungen

• Meistens werden die Innere und Äußerer Verknüpfung nicht gesondert von der additiven und Multiplikativen Verknüpfung auf $K$ hervorgehoben.
• Es wird das Symbol der Äußeren Verknüpfung oft unterdrückt, so dass $\lambda |v\rangle =\lambda \cdot |v\rangle =\lambda \odot |v\rangle$ alle das selbe meinen.
• Manchmal wird die Abkürzende Schreibweise $\lambda |v\rangle +\mu |w\rangle =|\lambda v+\mu w\rangle$ verwendet.

Aufgaben

In diesem Kurs wird vor allem der Vektorraum $\mathbb {C} ^{N}$ über dem Körper $K=\mathbb {C}$ mit $N=2^{n}$ betrachtet. $n$ stellt später die Anzahl der Qubits dar.
Ein Vektor $|v\rangle$ kann dann durch
$|v\rangle ={\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{N-1}\end{pmatrix}}\quad \quad v_{0},v_{1},\dots ,v_{N-1}\in \mathbb {C}$
ausgedrückt werden. Die Innere und Äußere Verknüpfung sind jeweils durch
$|v\rangle +|w\rangle ={\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{N-1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}w_{0}\\w_{1}\\\vdots \\w_{N-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{0}+w_{0}\\v_{1}+w_{1}\\\vdots \\v_{N-1}+w_{N-1}\end{pmatrix}}$
und
$\lambda |v\rangle =\lambda {\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{N-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda v_{0}\\\lambda v_{1}\\\vdots \\\lambda v_{N-1}\end{pmatrix}}$
definiert.

• Bestimme die folgenden Elemente des Vektorraums $\mathbb {C} ^{2}$
  

${\begin{pmatrix}2+\mathrm {i} \\-3+2\mathrm {i} \end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1+3\mathrm {i} \\5-2\mathrm {i} \end{pmatrix}}\quad \quad (2+3\mathrm {i} )\cdot {\begin{pmatrix}1+\mathrm {i} \\-3+2\mathrm {i} \end{pmatrix}}$

• (optional) Zeige, dass es sich bei $\mathbb {C} ^{N}$ tatsächlich um einen Vektorraum über $\mathbb {C}$ handelt.
  
  

Lösungen

Siehe auch

• Weitere Informationen können in dem Wikipedia-Artilel Vektorraum gefunden werden.