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Definiton

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Eine Matrix   aus dem   ist eine Ansammlung von   reellen Zahlen  , die in   Zeilen und   Spalten gemäß
 
angeordnet sind. Sie stellen lineare Abbildungen vom Vektorraum   zum Vektorraum   dar.

Anwenden auf Vektoren

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Wird eine Matrix auf einen Vektor angewandt, so werden die neuen Komponenten durch   bestimmt.
Im   gibt es eine Matrix   mit der Eigenschaft, dass sie jeden beliebigen Vektor   unverändert lässt, also   für beliebige   erfüllt. Diese Matrix wird als Einheitsmatrix bezeichnet. Sie ist dadurch definiert, dass nur auf der Diagonalen die Einträge   und sonst Nullen stehen.

Hintereinanderausführung und Matrixmultiplikation

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Wenn es sich bei   um eine Matrix des   und bei   um eine Matrix des   handelt, dann kann auf den Vektor   die Matrix   angewandt werden, um so einen Vektor des   zu erhalten. Die Hintereinanderanwendung ergibt eine neue Matrix   deren Komponenten durch   gegeben sind.


Vektoren als Matrizen und Transpositionen

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Vektoren können als Matrizen aus dem   aufgefasst werden. Es gibt allerdings auch die Matrizen der Form  , die als transponierte Vektoren bezeichnet werden. Ist ein Vektor   gegeben, so ist sein transponierter Vektor durch   bestimmt.
Damit lässt sich das Matrixprodukt als Matrixmultiplikation   auffassen.

Werden bei der Matrix   Zeilen und Spalten vertauscht, so handelt es sich um die transponierte Matrix   sie wirkt auf den Vektor   genau so wie   auf den Vektor  .

Wird das Matrixprodukt   transponiert, so muss zusätzlich die Reihenfolge geändert werden, wodurch sich   ergibt.

Eigenwerte und Eigenvektoren

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Gibt es für eine quadratische Matrix   Vektoren  , welche die Gleichung   lösen, so werden diese als Eigenvektoren von   zum Eigenwert   bezeichnet. Die Menge aller Eigenwerte von   wird als Spektrum   bezeichnet. Verfügt ein Eigenwert über mehrere linear unabhängige Eigenvektoren wird dieser als entartet bezeichnet. Da Matrizen lineare Abbildungen sind, ist ein Vielfaches eines Eigenvektors wieder ein Eigenvektor zum selben Eigenwert. Genauso ist die Linearkombination linear unabhängiger Eigenvektoren zum selben Eigenwert wieder ein Eigenvektor zum selben Eigenwert.


Aufgaben

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  • Betrachte die Matrix

  und den Vektor   bestimme  .

  • Betrachte die Matrizen

  und   und bestimme alle möglichen Matrixprodukte.

  • Betrachte die Vektoren

  und   und die Matrizen   und   bestimme damit die Ausdrücke  ,   und  

  • Die Matrix

  besitzt die Eigenwerte   und  . Bestimme die Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten.

  • (optional) Sei   mit  . Zeige, dass Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten   senkrecht aufeinander stehen, dass also   gilt.

Lösungen

Siehe auch

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  • Weitere Informationen können in dem Wikipedia-Artilel Matrizen gefunden werden.