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Integral/s^2t+r cos t/Über Einheitswürfel/Aufgabe/Lösung
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Integral
|
s^2t+r cos t/Über Einheitswürfel/Aufgabe
Aufgrund des Satzes von Fubini ist
∫
W
s
2
t
+
r
cos
t
d
λ
3
=
∫
0
1
∫
0
1
∫
0
1
(
s
2
t
+
r
cos
t
)
d
r
d
s
d
t
=
∫
0
1
∫
0
1
(
r
s
2
t
+
1
2
r
2
cos
t
)
|
0
1
d
s
d
t
=
∫
0
1
∫
0
1
(
s
2
t
+
1
2
cos
t
)
d
s
d
t
=
∫
0
1
(
1
3
s
3
t
+
s
1
2
cos
t
)
|
0
1
d
t
=
∫
0
1
(
1
3
t
+
1
2
cos
t
)
d
t
=
(
1
6
t
2
+
1
2
sin
t
)
|
0
1
=
1
6
+
1
2
sin
1.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{W}s^{2}t+r\cos t\,d\lambda ^{3}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left(s^{2}t+r\cos t\right)}drdsdt\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left(rs^{2}t+{\frac {1}{2}}r^{2}\cos t\right)}|_{0}^{1}dsdt\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left(s^{2}t+{\frac {1}{2}}\cos t\right)}dsdt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{3}}s^{3}t+s{\frac {1}{2}}\cos t\right)}|_{0}^{1}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{3}}t+{\frac {1}{2}}\cos t\right)}dt\\&={\left({\frac {1}{6}}t^{2}+{\frac {1}{2}}\sin t\right)}|_{0}^{1}\\&={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{2}}\sin 1.\end{aligned}}}
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