Integration/Substitution/Bemerkung

Die Substitution wird folgendermaßen angewendet: Es soll das Integral

$\int _{a}^{b}f(t)\,dt$

berechnet werden. Man muss dann eine Idee haben, dass durch die Substitution

${}t=\varphi (s)\,$

das Integral einfacher wird (und zwar unter Berücksichtigung der Ableitung ${}\varphi '(s)$ und unter der Bedingung, dass die Umkehrfunktion ${}\varphi ^{-1}$ berechenbar ist). Mit ${}c=\varphi ^{-1}(a)$ und ${}d=\varphi ^{-1}(b)$ liegt insgesamt die Situation

$[c,d]{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}[a,b]{\stackrel {f}{\longrightarrow }}\mathbb {R}$

vor. In vielen Fällen kommt man mit gewissen Standardsubstitutionen weiter.

Bei einer Substitution werden drei Operationen durchgeführt.

1. Ersetze ${}f(t)$ durch ${}f(\varphi (s))$.
2. Ersetze ${}dt$ durch ${}\varphi '(s)ds$.
3. Ersetze die Integrationsgrenzen ${}a$ und ${}b$ durch ${}\varphi ^{-1}(a)$ und ${}\varphi ^{-1}(b)$.

Für den zweiten Schritt empfiehlt sich die Merkregel

${}dt=d\varphi (s)=\varphi '(s)ds\,,$

der man im Rahmen der Theorie der „Differentialformen“ auch eine inhaltliche Bedeutung geben kann.