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Integration über Produktmenge/x^2-xy+2y^3/0 2 mal -2 1/Beispiel/Aufgabe/Lösung
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Integration über Produktmenge/x^2-xy+2y^3/0 2 mal -2 1/Beispiel
|
Aufgabe
Mit dem
Satz von Fubini
ist
∫
Q
f
d
λ
2
=
∫
0
2
(
∫
−
2
1
(
x
2
−
x
y
+
2
y
3
)
d
x
)
d
y
=
∫
0
2
(
(
1
3
x
3
−
1
2
x
2
y
+
2
y
3
x
)
|
−
2
1
)
d
y
=
∫
0
2
(
1
3
−
1
2
y
+
2
y
3
+
8
3
+
2
y
+
4
y
3
)
d
y
=
∫
0
2
(
3
+
3
2
y
+
6
y
3
)
d
y
=
(
3
y
+
3
4
y
2
+
3
2
y
4
)
|
0
2
=
6
+
3
+
24
=
33.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{Q}f\,d\lambda ^{2}&=\int _{0}^{2}{\left(\int _{-2}^{1}{\left(x^{2}-xy+2y^{3}\right)}\,dx\right)}\,dy\\&=\int _{0}^{2}{\left({\left({\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}x^{2}y+2y^{3}x\right)}|_{-2}^{1}\right)}dy\\&=\int _{0}^{2}{\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}y+2y^{3}+{\frac {8}{3}}+2y+4y^{3}\right)}\,dy\\&=\int _{0}^{2}{\left(3+{\frac {3}{2}}y+6y^{3}\right)}\,dy\\&={\left(3y+{\frac {3}{4}}y^{2}+{\frac {3}{2}}y^{4}\right)}|_{0}^{2}\\&=6+3+24\\&=33.\end{aligned}}}
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