Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Flächenversion/Fakt

Der Satz von Green für den Flächeninhalt

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand ${}\partial M$.

Dann ist der Flächeninhalt von ${}M$ gleich

${}\lambda ^{2}(M)=\int _{\partial M}xdy=-\int _{\partial M}ydx\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen