Integres affines Schema/Noethersch/Faktoriell/Offene Teilmenge/Picardgruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

wir führen Induktion über , wobei der Induktionsanfang nach Fakt klar ist. Wir können also davon ausgehen, dass auf trivial ist. Wir ziehen Bemerkung heran, somit ist die invertierbare Garbe durch eine Einheit über festgelegt. Nach Fakt ist die Strukturgarbe und damit auch die Garbe der Einheiten im faktoriellen Fall besonders einfach, ein Element ist genau dann eine Einheit auf , wenn gilt. Daher sind Einheiten auf offenen Mengen generell von der Form mit Primelementen , einer Einheit aus und . Dabei ist eine Einheit auf

genau dann, wenn die beteiligten (also die mit einem Exponenten ) die teilen. Dies bedeutet, dass das Element oder aber alle Elemente teilt. In jedem Fall kann man als ein Produkt von Einheiten über und Einheiten über schreiben. Mit diesen Einheiten kann man die Garbe trivialisieren.