Integres affines Schema/Noethersch/Faktoriell/Offene Teilmenge/Picardgruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}U=D(f_{1},\ldots ,f_{n})\,,$

wir führen Induktion über ${}n$, wobei der Induktionsanfang nach Fakt klar ist. Wir können also davon ausgehen, dass ${}{\mathcal {L}}$ auf ${}D(f_{1},\ldots ,f_{n-1})$ trivial ist. Wir ziehen Bemerkung heran, somit ist die invertierbare Garbe durch eine Einheit über ${}D(f_{1},\ldots ,f_{n-1})\cap D(f_{n})$ festgelegt. Nach Fakt ist die Strukturgarbe und damit auch die Garbe der Einheiten im faktoriellen Fall besonders einfach, ein Element ${}h\in R$ ist genau dann eine Einheit auf ${}U$, wenn ${}U\subseteq D(h)$ gilt. Daher sind Einheiten auf offenen Mengen generell von der Form ${}h=up_{1}^{r_{1}}\cdots p_{s}^{r_{s}}$ mit Primelementen ${}p_{j}\in R$, ${}u$ einer Einheit aus ${}R$ und ${}r_{j}\in \mathbb {Z}$. Dabei ist ${}h$ eine Einheit auf

${}D(f_{1},\ldots ,f_{n-1})\cap D(f_{n})=D(f_{1}f_{n},\ldots ,f_{n-1}f_{n})\,$

genau dann, wenn die beteiligten ${}p_{j}$ (also die mit einem Exponenten ${}r_{j}\neq 0$) die ${}f_{i}f_{n}$ teilen. Dies bedeutet, dass ${}p_{j}$ das Element ${}f_{n}$ oder aber alle Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n-1}$ teilt. In jedem Fall kann man ${}h$ als ein Produkt von Einheiten über ${}D(f_{1},\ldots ,f_{n-1})$ und Einheiten über ${}D(f_{n})$ schreiben. Mit diesen Einheiten kann man die Garbe trivialisieren.

Zur bewiesenen Aussage