Es sei ein
beringter Raum
und eine
invertierbare Garbe
auf . Dies bedeutet, dass es eine
offene Überdeckung
und Trivialisierungen
-
gibt. Für offene Mengen ergeben sich auf die Übergangsabbildungen
-
Diese Isomorphien sind
(vergleiche
Aufgabe)
durch
(Multiplikation mit)
Einheiten
gegeben. Da die Daten von der einen invertierbaren Garbe herrühren, gilt dabei die Kozykelbedingung
,
was man auch als
schreiben kann. Ein solcher Datensatz legt durch eine Verklebung wiederum eine invertierbare Garbe fest. Wenn die invertierbare Garbe trivial ist, so gibt es einen globalen
-Modulisomorphismus
.
Dann liegen auf den die Isomorphismen
-
vor, die insgesamt durch Einheiten
festgelegt sind. Für diese gilt die Beziehung
-
für alle . Wenn umgekehrt solche realisierende Einheiten gegeben sind, so werden durch
-
Modulisomorphismen auf festgelegt, die verträglich sind und daher einen globalen Isomorphismus zwischen
und
festlegen. Eine invertierbare Garbe kann man also mit dem Datensatz
(mit den obigen Bedingungen, man spricht von einem Kozykel)
identifizieren, wobei ein solcher Datensatz als trivial anzusehen ist, wenn es Einheiten mit
-
gibt.