Integritätsbereich/Gebrochenes Ideal/Beschreibung/Fakt

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$ und sei ${}{\mathfrak {f}}\subseteq Q(R)$ eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}{\mathfrak {f}}$ ist ein gebrochenes Ideal.
2. Es gibt ein endlich erzeugtes Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in ${}R$ und ein Element ${}r\in R$, ${}r\neq 0$, derart, dass

   ${}{\mathfrak {f}}={\frac {\mathfrak {a}}{r}}={\left\{{\frac {a}{r}}\mid a\in {\mathfrak {a}}\right\}}\,$

   gilt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen