Intervall/Riemannsche Struktur/Einbettung/Beispiel

Es sei ein reelles Intervall und sei

eine positive differenzierbare Funktion, die wir als eine riemannsche Metrik auf interpretieren. Die Bedeutung von ist, auf dem eindimensionalen Tangentialraum des Intervalls zum Punkt ein Skalarprodukt zu definieren. Es ist also

und daher

Wenn eine reguläre stetig differenzierbare Kurve und der mit der euklidischen Metrik versehen ist, so ererbt durch die Abbildung eine solche Metrik durch

Die Länge der Kurve auf ist nach Fakt gleich

Man kann also die Kurvenlänge auf dem Intervall berechnen, wenn man darauf die infinitesimale Längenmessung kennt. Umgekehrt kann man jede positive Metrik auf über die Funktion

mit

als zurückgezogene Metrik zur Standardmetrik auf erhalten.