Intervall/Riemannsche Struktur/Einbettung/Beispiel

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und sei

$g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine positive differenzierbare Funktion, die wir als eine riemannsche Metrik auf ${}I$ interpretieren. Die Bedeutung von ${}g(t)$ ist, auf dem eindimensionalen Tangentialraum des Intervalls zum Punkt ${}t$ ein Skalarprodukt zu definieren. Es ist also

${}\left\langle 1,1\right\rangle _{t}=g(t)\,$

und daher

${}\Vert {1}\Vert _{t}={\sqrt {g(t)}}\,.$

Wenn ${}\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ eine reguläre stetig differenzierbare Kurve und der ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit der euklidischen Metrik versehen ist, so ererbt ${}I$ durch die Abbildung eine solche Metrik durch

${}g(t):=\left\langle \gamma '(t),\gamma '(t)\right\rangle \,.$

Die Länge der Kurve ${}\gamma$ auf ${}[a,b]\subseteq I$ ist nach Fakt gleich

${}\int _{a}^{b}\Vert {\gamma '(t)}\Vert dt=\int _{a}^{b}{\sqrt {g(t)}}dt\,.$

Man kann also die Kurvenlänge auf dem Intervall berechnen, wenn man darauf die infinitesimale Längenmessung kennt. Umgekehrt kann man jede positive Metrik ${}g$ auf ${}I$ über die Funktion

$\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}\gamma (t):=\int _{0}^{t}{\sqrt {g(s)}}ds\,$

als zurückgezogene Metrik zur Standardmetrik auf ${}\mathbb {R}$ erhalten.