Intervall/Riemannsche Struktur/Levi-Civita-Zusammenhang/Horizontale Schnitte/Aufgabe/Lösung

Die horizontalen Schnitte sind dadurch gekennzeichnet, dass ihre vertikale Abbildung verschwindet. In der gegebenen Situation ist die vertikale Ableitung gemäß Beispiel gleich

${}\nabla _{\partial }(f)=f'+f{\frac {g'}{2g}}\,.$

Dafür ist zunächst ${}f=0$ eine Lösung. Es sei nun ${}f(t_{0})\neq 0$ und dies gilt dann auch in einer offenen Umgebung von ${}t_{0}$. Darauf ist

${}{\frac {f'}{f}}={\frac {g'}{2g}}\,.$

Das Lösungsverfahren für lineare Differentialgleichungen führt auf

${}\ln \vert {f}\vert =c+{\frac {1}{2}}\ln g\,$

und somit auf

${}\vert {f}\vert =e^{c}e^{{\frac {1}{2}}\ln g}=e^{c}{\sqrt {g}}\,$

bzw.

${}f=d{\sqrt {g}}\,$

(mit ${}d\in \mathbb {R}$),

was man auch direkt überprüfen kann.

Zur gelösten Aufgabe