Invertierbare Matrix/Endliche Ordnung/Algebraisch abgeschlossener Körper/Charakteristik 0/Diagonalisierbar/Fakt/Beweis

Beweis

Die Matrix ist trigonalisierbar und besitzt eine jordansche Normalform. Wir zeigen, dass die einzelnen Jordanblöcke

${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda &1&0\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}$

trivial sind. Wegen der endlichen Ordnung muss ${}\lambda$ eine Einheitswurzel sein. Durch Multiplikation mit ${}\lambda ^{-1}E_{n}$ können wir davon ausgehen, dass eine Matrix der Form

${\begin{pmatrix}1&a&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&a&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&a&0\\0&\cdots &\cdots &0&1&a\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}$

(mit ${}a\neq 0$) vorliegt. Wenn dies keine ${}1\times 1$-Matrix ist, so gibt es zwei Vektoren ${}u,v$, wobei ${}u$ ein Eigenvektor ist und ${}v$ auf ${}v+au$ abgebildet wird. Die ${}k$-te Iteration der Matrix schickt dann ${}v$ auf ${}v+kau$ und wegen Charakteristik ${}0$ ist dies nicht ${}v$, im Widerspruch zur endlichen Ordnung.

Zur bewiesenen Aussage