- Das Nullelement ergibt sich für
,
wegen
-
![{\displaystyle {}(a+bu)+(c+du)=(a+c)+(b+d)u\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c890985fc40c68a240f2aced4024880f6f5996f7)
ist
unter der Addition abgeschlossen und wegen
-
![{\displaystyle {}-(a+bu)=-a-bu\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b47bd0cd72cf270a7c53e2bb2a010be73cb0a19d)
gehören auch die Negativen dazu.
- Nehmen wir
-
![{\displaystyle {}G=\mathbb {Z} v\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e96cd2657e436d1b9ebd6d1dd5fb6f4c3f8ee0b)
mit einem
an. Dann ist einerseits
-
![{\displaystyle {}v=a_{0}+b_{0}u\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2afbbf8da6a59b7e382d04c2c37c7db91a2a1908)
mit gewissen
und andererseits
-
![{\displaystyle {}u=rv=r(a_{0}+b_{0}u)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874e9098c8893645b4ff3decb2431d7ecd66570f)
mit einem
,
.
Daraus folgt
-
![{\displaystyle {}{\left(1-rb_{0}\right)}u=ra_{0}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b50ef1a27b46d71914c51b80d255eb5eb057eae2)
Aus der Irrationalität von
ergibt sich
-
![{\displaystyle {}1-rb_{0}=0=a_{0}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c4d88e91a2d16f66d6e391e2f885a14f7f8bd27)
also
-
![{\displaystyle {}r=b_{0}=\pm 1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d707b89a371bee79f12b0c7aa137b3cf421ad57f)
Dann ist
-
![{\displaystyle {}v=\pm u\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/583bd50d8ee7cc33ba914a83c661e79bc8bffb70)
also
-
![{\displaystyle {}G=\mathbb {Z} u\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab6cb0750a8a2bfbabd48eed8f8a0037709c27c9)
Dann wäre
-
![{\displaystyle {}1=cu\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f07753a1170168c9fd41f714b1c965c42edd0bd)
mit einem
was wegen der Irrationalität von
nicht möglich ist.
- Nehmen wir an, es sei
das minimale positive Element aus
. Wir behaupten, dass dann
-
![{\displaystyle {}G=\mathbb {Z} w\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/228b89dcd7b4a11ef3939880f32667701032654e)
wäre, was nach Teil (2) nicht sein kann. Es sei also
-
![{\displaystyle {}g=a+bv>0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4918cf5ee8ff3ff05490740dd18a2807f3a5999)
positiv
(bei
negativ geht man zum Negativen davon über).
Dann ist nach Voraussetzung
-
![{\displaystyle {}g\geq w\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba807ddf5bec350ebf5969015e5056cb8e72bc76)
Wir betrachten
bis wir zu einem
mit
-
![{\displaystyle {}0\leq g-kw<w\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d5303c0a8de248a098af5d4206a5971e1d3da82)
angelangen. Wegen
muss
-
![{\displaystyle {}0=g-kw\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c7bfa43b1ef0c5457dafa36e04600a6b39ebf3)
sein, also
.