Irrationale Zahl/Untergruppe/Kein Erzeuger/Kein minimales Element/Aufgabe/Lösung

1. Das Nullelement ergibt sich für ${}a=b=0$, wegen

   ${}(a+bu)+(c+du)=(a+c)+(b+d)u\,$

   ist ${}G$ unter der Addition abgeschlossen und wegen

   ${}-(a+bu)=-a-bu\,$

   gehören auch die Negativen dazu.

2. Nehmen wir

   ${}G=\mathbb {Z} v\,$

   mit einem ${}v\in \mathbb {R}$ an. Dann ist einerseits

   ${}v=a_{0}+b_{0}u\,$

   mit gewissen ${}a_{0},b_{0}\in \mathbb {Z}$ und andererseits

   ${}u=rv=r(a_{0}+b_{0}u)\,$

   mit einem ${}r\in \mathbb {Z}$, ${}r\neq 0$. Daraus folgt

   ${}{\left(1-rb_{0}\right)}u=ra_{0}\,$

   Aus der Irrationalität von ${}u$ ergibt sich

   ${}1-rb_{0}=0=a_{0}\,,$

   also

   ${}r=b_{0}=\pm 1\,.$

   Dann ist

   ${}v=\pm u\,,$

   also

   ${}G=\mathbb {Z} u\,.$

   Dann wäre

   ${}1=cu\,$

   mit einem ${}c\in \mathbb {Z}$ was wegen der Irrationalität von ${}u$ nicht möglich ist.

3. Nehmen wir an, es sei ${}w>0$ das minimale positive Element aus ${}G$. Wir behaupten, dass dann

   ${}G=\mathbb {Z} w\,$

   wäre, was nach Teil (2) nicht sein kann. Es sei also

   ${}g=a+bv>0\,$

   positiv (bei ${}g$ negativ geht man zum Negativen davon über). Dann ist nach Voraussetzung

   ${}g\geq w\,.$

   Wir betrachten ${}g-w,g-2w,g-3w,\ldots$ bis wir zu einem ${}g-kw$ mit

   ${}0\leq g-kw<w\,$

   angelangen. Wegen ${}g-kw\in G$ muss

   ${}0=g-kw\,$

   sein, also ${}g\in \mathbb {Z} w$.

Zur gelösten Aufgabe