Isometrie/C/Diagonalisierbar/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über die Dimension von ${}V$. Im eindimensionalen Fall ist die Aussage klar. Aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra und Fakt besitzt ${}\varphi$ einen Eigenwert und einen Eigenvektor, den wir normieren können. Es sei ${}E\subseteq V$ die zugehörige Eigengerade. Da eine Isometrie vorliegt, ist das orthogonale Komplement ${}E^{\perp }$ nach Fakt ebenfalls ${}\varphi$-invariant, und die Einschränkung

$\varphi {|}_{E^{\perp }}\colon E^{\perp }\longrightarrow E^{\perp }$

ist ebenfalls eine Isometrie. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es also von ${}E^{\perp }$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren, die zusammen mit dem ersten Eigenvektor eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von ${}V$ bildet.

Zur bewiesenen Aussage