Isomorphielemma/Elementare Äquivalenz/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen den Zusatz durch Induktion über den Aufbau der Ausdrücke, woraus sich dann die Hauptaussage, die unabhängig von Belegungen ist, ergibt. Es sei ein Isomorphismus

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

fixiert. Nach Fakt respektiert der Isomorphismus die Interpretation aller Terme. Da die Situation symmetrisch ist, müssen wir lediglich zeigen, dass aus der Gültigkeit von ${}I\vDash \alpha$ die Gültigkeit von ${}J\vDash \alpha$ folgt. Für einen Ausdruck der Form

${}s=t\,$

mit Termen ${}s,t$ bedeutet

$I\vDash s=t$

einfach

${}I(s)=I(t)\,.$

Daher ist

${}J(s)=\varphi (I(s))=\varphi (I(t))=J(t)\,$

und somit

$J\vDash s=t.$

Für ein ${}n$-stelliges Relationssymbol ${}R$ und ${}n$ Terme ${}t_{1},\ldots ,t_{n}$ bedeutet

$I\vDash Rt_{1}\ldots t_{n},$

dass ${}R^{M}$ auf ${}\left(I(t_{1}),\,\ldots ,\,I(t_{n})\right)$ zutrifft. Dann trifft aufgrund der Homomorphie von ${}\varphi$ auch ${}R^{N}$ auf

${}\left(\varphi (I(t_{1})),\,\ldots ,\,\varphi (I(t_{n}))\right)=\left(J(t_{1}),\,\ldots ,\,J(t_{n})\right)\,$

zu. Also ist

$J\vDash Rt_{1}\ldots t_{n}.$

Wir kommen zum Induktionsschluss. Bei ${}\alpha =\neg \beta$, ${}\alpha =\beta \wedge \gamma$ und ${}\alpha =\beta \rightarrow \gamma$ folgt die Aussage aus der Induktionsvoraussetzung, wobei man bei der Negation und der Implikation verwendet, dass eine Äquivalenz bewiesen wird.

Für eine Existenzaussage ${}\exists x\beta$ bedeutet

$I\vDash \exists x\beta ,$

dass es ein ${}m\in M$ derart gibt, dass

$I{\frac {m}{x}}\vDash \beta$

gilt. Es sei

${}n=\varphi (m)\,.$

Nach der Induktionsvoraussetzung, angewendet auf ${}\beta$ und die Interpretation ${}J{\frac {n}{x}}$, die zu ${}I{\frac {m}{x}}$ in der gleichen Beziehung steht wie ${}J$ zu ${}I$ (d.h. die Variablenbelegungen sind durch ${}\varphi$ miteinander verbunden) gilt

$J{\frac {n}{x}}\vDash \beta .$

Dies impliziert

$J\vDash \exists x\beta .$

Zur bewiesenen Aussage