Kählermodul/Basiswechsel/Endlich erzeugt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})$. Nach Bemerkung liegt eine exakte Sequenz

$A^{k}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}A^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\longrightarrow 0$

vor, wobei ${}M$ die transponierte Jacobi-Matrix zu den ${}F_{j}$ ist. Tensorierung mit ${}A'$ über ${}A$ ergibt

$(A')^{k}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}(A')^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\otimes _{A}A'\longrightarrow 0.$

Wegen ${}A'=R'[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})$ mit den ${}F_{i}$ aufgefasst über ${}R'$ ist auch

$(A')^{k}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}(A')^{n}\longrightarrow \Omega _{A'{|}R'}\longrightarrow 0,$

sodass die in Frage stehenden ${}A'$-Moduln übereinstimmen.

Zur bewiesenen Aussage