Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe/Lösung

1. Ein Element ${}u$ heißt Einheit, wenn es ein Element ${}v\in R$ mit ${}uv=1$ gibt.
2. Ein Automorphismus

   $G\longrightarrow G$

   der Form ${}x\mapsto gxg^{-1}$ zu einem festen Element ${}g\in G$ heißt innerer Automorphismus.

3. Eine Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$ heißt algebraisch, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ gibt mit ${}P(z)=0$.
4. Unter der Galoisgruppe versteht man die Gruppe aller ${}K$-Algebra-Automorphismen von ${}L$, also

   $\operatorname {Aut} _{K}\,(L).$

5. Ein Körper ${}K$ heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom ${}P\in K[X]$ separabel ist.
6. Eine Gruppe ${}G$ heißt auflösbar, wenn es eine Filtrierung

   $\{e\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=G$

   gibt derart, dass ${}G_{i}$ ein Normalteiler in ${}G_{i+1}$ ist und die Restklassengruppe ${}G_{i+1}/G_{i}$ abelsch ist (für jedes $i=0,\ldots ,k-1$).

Zur gelösten Aufgabe