Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe/Lösung

1. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ der Form

   ${}{\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,.$

   heißt Hauptideal.

2. Man nennt einen Ringhomomorphismus

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   einen ${}K$-Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen ${}K\rightarrow R$ und ${}K\rightarrow S$ verträglich ist.

3. Unter der Galoisgruppe versteht man die Gruppe aller ${}K$-Algebra-Automorphismen von ${}L$, also

   $\operatorname {Aut} _{K}\,(L).$

4. Eine Galoiserweiterung ${}K\subseteq L$ heißt eine Kummererweiterung zum Exponenten ${}m$, wenn ihre Galoisgruppe abelsch und ihr Exponent ein Teiler von ${}m$ ist.
5. Die ${}i$-te iterierte Kommutatoruntergruppe wird induktiv durch

   $K^{0}(G)=G{\text{ und }}K^{i}(G)=K(K^{i-1}(G))$

   definiert.

6. Man sagt, dass die Familie ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in L$ eine Transzendenzbasis von ${}L$ über ${}K$ ist, wenn die ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ algebraisch unabhängig sind und ${}K(f_{1},\ldots ,f_{n})\subseteq L$ eine algebraische Körpererweiterung ist.

Zur gelösten Aufgabe